增加食饵-捕食者模型)

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1、常微分方程第二章初等积分法(4)主讲人：富明慧教授stsfmh@mail.sysu.edu.cn一已知曲线族的等角轨线族§2.6应用举例求曲线族：使中任意一条曲线与的所有曲线的夹角为恒定值。，称这样的曲线族（2）为已知曲线族（1）的等角轨线族。1、基本概念已知曲线族：当时，称曲线族（2）为（1）的正交轨线族，，2已知曲线族的微分方程消去上式中的C，既得相应微分方程：由再利用其中是由决定的函数（4）方程（4）在点的线素斜率记为，而把与它相交成角的线素斜率记为。当时，有从而等角轨线的微分方程为3等角轨线族的微分方程由三角公式：得：当时，有，即所求正交

2、轨线的微分方程为（6）注意，在方程（4），（5）与（6）中的函数是相同的。（5）求解微分方程（5）（或（6）），就可以得到（1）的等角轨线族（或正交轨线族）（2）。需要注意的是，在推导方程（4）时，。这样，由可以决定y是x的单值函数。而则可决定x是y的函数。然后进行类似推导。若将微分方程(4),(5)和(6)改变为对称形式，就不必区分上述两种情形。应有等角轨线族不仅在数学本身有用（例如当它们可以取为坐标系），而且在某些物理与力学问题中也有用，例如静电场中的电力线与等势线就是互相正交的曲线族。作为一个例子，设电力线族的方程为（K为参数），这是一个抛

3、物线族时，从联立方程,（7）中消去，得到一个对称形式的微分方程。因此，与之正交的曲线族的微分方程为，它的通积分为。这就是所求的等势线族（同心椭圆族）。二人口增长模型用表示某地区在时间的人口总数记为人口增长率（出生率与死亡率之差）。由于在时间内的平均增长率为，其中为人口的增量，所以即（8）这就是人口总数N所满足的微分方程。马尔萨斯人口模型：假设r为常数初值问题（9）的解为（10）人口是按指数曲线增长的，显然不符合实际。修正模型：（11）假设其中正数a和b称为生命系数。一些生态学家测得a的自值为0.029，而b的值则取决于各地区社会经济条件。方程（8

4、）修正为（12）这是一个变量分离的方程。初值问题：（13）的解为（14）美国和法国曾用这个公式预报过人口的变化，结果与实际十分吻合；而比利时则不甚符合，原因是当时比利时向刚果进行着大量移民。至于我国，见书里P57，即取＝1979，=9.7092乘，r0=0.0145,则由（11）式可得利用公式（14）可以对我国大陆地区的人口总数作出估算。（15）分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得代入得雪球的体积随时间的变化关系为食饵（甲）数量y(t),捕食者（乙）数量x(t)甲独立生存的增长率乙使甲的增长率减小，减小量与x成正比乙独立生存的死亡率甲使乙的死

5、亡率减小，减小量与y成正比食饵-捕食者模型(Volterra)~捕食者掠取食饵能力~食饵供养捕食者能力作业P62习题2-61(2),2(4),3,5