D75可降阶高阶微分方程(I)

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1、可降阶高阶微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程机动目录上页下页返回结束例1.解:机动目录上页下页返回结束型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、机动目录上页下页返回结束例2.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动目录上页下页返回结束三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解机动目录上页下页返回结束例3.求解代入方程得两端积分

2、得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:机动目录上页下页返回结束例4.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得机动目录上页下页返回结束内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令机动目录上页下页返回结束P3231(5),(7),(10);2(3),(6);3;4作业第七节目录上页下页返回结束思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.机动目录上页下

3、页返回结束为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面3.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(99考研)机动目录上页下页返回结束再利用y(0)=1得利用得两边对x求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为机动目录上页下页返回结束速度大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有去分母后两边对x求导,得又由于设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题的速度沿y轴正向运动,物体B从(–1,0)出发,试建立物

4、体B的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①机动目录上页下页返回结束代入①式得所求微分方程:其初始条件为机动目录上页下页返回结束