雪花曲线中的科克数学问题

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1、雪花曲线中的科克数学问题（）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）；（）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（kochsnowflake）·····（1）（2）（3）（4）（5）设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作、、、···。（1）求中的边长；（2）求中每条边的长度；（3）求的周长；（4）求所围成的面积；（5）求周长和面积的极

2、限。解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：（1）因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以的递推公式为，，其通项公式为（2）因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的，所以的递推公式为。其通项公式为。（1）因为，所以的通项公式为。（2）为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作则。当由生成时，在的每一条边上多了一个面积为的小等边三角形，这些小等边三角形的面积之和为，其中的面积为。于是得到科克雪花曲线面积的递推公式：···.把代入上式，经简化得容易验证：等。（1）由周长和面积的表达式可知。当n无限增大时，

3、也随之无限增大。因为，所以注释:科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来，不仅运用了数学数列的递推公式，还涉及到一定的递推思想，找到一定的规律并解出问题。此外，科克雪花曲线图形与新兴的分形几何有一定的联系，分形几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长？”的提出，随之，分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理，用有足够精度的尺子去度量海岸线的长度，那么只要尺子的精度足够小，海岸线的周长就可以无限的长。也就是说，海岸线的面积有上限，而它的周长却可以无限的长。这里，科克雪花曲线图形就是这样，将其边长无限的分割下去，那么它的面

4、积有限，而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和函数。当我们对它无限分割的时候，这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状，这也就是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科的发展，而且，还从数学图形中得到了优美的雪花图形，这在数学问题中是很少见的。