高中数学极限

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1、高中数学极限、数学归纳法一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1．(精选考题·江西高考)(1＋＋＋…＋)＝(　　)A.B.C．2D．不存在解析：(1＋＋＋…＋)＝＝.答案：B2．设函数f(x)＝(x＋1)2(x－2)，则等于(　　)A．6B．2C．0D．－6解析：∵＝＝3x－3，∴＝－6.答案：D3．已知函数f(x)＝在x＝1处连续，则f－1(3)等于(　　)A．0B．1C．－D.解析：∵函数f(x)在x＝1处连续，∴f(1)＝＝4.又当x＝1时，f(1)＝a＋1，∴a＝3.当x＞1时，令＝3，

2、得x＝0或1，不满足题设．当x≤1时，令3x＋1＝3，得x＝，满足题设．∴f－1(3)＝.答案：D4．用数学归纳法证明＋＋…＋>时，由n＝k到n＝k＋1，不等式左边的变化是(　　)A．增加一项B．增加和两项C．增加，两项，同时减少一项D．以上结论均错解析：n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故增加，两项，减少一项．答案：C5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝(　　)A.B.C.D.解析：由Sn＝n2an知S

3、n＋1＝(n＋1)2an＋1，∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.答案：B6．设a，b满足＝－1，则等于(　　)A．1B.C.D.解析：依题意得a＝2，＝＝(x－b)＝2－b＝－1，因此b＝3.故＝＝＝.答案：C二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．设a＝，则1＋a＋a2＋a

4、3＋…＝________.解析：∵a＝＝＝＝，∴1＋a＋a2＋a3＋…＝2.答案：28．已知函数f(x)＝在点x＝0处连续，则a＝________.解析：由题意得f(x)＝(x2－1)＝－1，f(x)＝acosx＝a，由于f(x)在x＝0处连续，因此a＝－1.答案：－19．已知logab＞1(0＜a＜1)，则＝________.解析：logab＞1,0＜a＜1得0＜b＜a，∴＝＝－1.答案：－1三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n

5、.(1)求；(2)证明：＋＋…＋＞3n.解：(1)因为＝＝(1－)＝1－，＝＝，所以＝.(2)证明：当n＝1时，＝S1＝6＞3；当n＞1时，＋＋…＋＝＋＋…＋＝(－)·S1＋(－)·S2＋…＋[－]Sn－1＋·Sn＞＝·3n＞3n.综上知，当n≥1时，＋＋…＋＞3n.11．(本小题满分15分)已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a3＝2，an＋1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，….试用数学归纳法证明：an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…；证明：①当n＝3时，a

6、3＝2＝a1＋2，所以等式成立；②假设当n＝k≥3时等式成立，即ak＝ak－2＋2.而由题设有ak＋1ak＝(ak－1＋2)(ak－2＋2)．由ak－2是非负整数，得ak＝ak－2＋2≠0，∴ak＋1＝ak－1＋2，即当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②得：对任意正整数n≥3，都有an＝an－2＋2.12．(本小题满分16分)在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an，Sn，Sn－成等比数列．(1)求a2，a3，a4并推出an的表达式，(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：∵an，Sn，Sn－成等比数列，∴

7、S＝an(Sn－)(n≥2)①(1)由a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2代入①得a2＝－，由a1＝1，a2＝－，S3＝＋a3代入①得a3＝－.同理可得a4＝－，由此可推出an＝.(2)证明：①当n＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立，②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，ak＝－成立．故S＝－·(Sk－)，∴(2k－3)(2k－1)S＋2Sk－1＝0，∴Sk＝，Sk＝－(舍)．由S＝ak＋1·(Sk＋1－)得(Sk＋ak＋1)2＝ak＋1(ak＋1＋Sk－)，∴＋a＋＝a＋－ak＋1，∴ak＋1＝，即n＝k

8、＋1时，命题也成立．由①②知an＝对一切n∈N*成立．1．(＋)等于(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：∵＋＝＝＝＝，∴(＋)＝＝＝2.答案：B2．函数f(x)＝在点x＝1和x＝2处的极限值都是0，而在点x＝－2处不连续，则不等式f(x)＞0的解集为(　　)A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1,2)解析：由已知