Fourier级数的性质及收敛定理的证明

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1、收敛定理:光滑,则在每一点的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即其中为的傅里叶系数.定理若以为周期的函数在上按段11.5.3Fourier级数的性质定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)若函数f在上可积,则为其中的傅里叶系数.(1)式称为Bessel不等式.2证令考察积分由于根据Fourier系数公式可得3根据Fourier系数公式可得对于的积分.应用三角函数系的正交性,有4将(3),(4)代入(2)，可得因而它对任何正整数m成立.而为有限值,所以正项级数的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立.5推论1若f为可积函数,则因为(1)的左边级数收敛,所以当时,通项,

2、亦即有与,这就是(5)式,这个推论称为Riemann引理.6证由于所以推论2若f为可积函数,则7其中式右端两项积分的极限在时都等于零.所以左边的极限为零.同样可以证明显见与和f一样在上可积.由推论1,(7)8当t=0时,被积函数中的不定式由极限来确定.上可积,则它的傅里叶级数的部分和可写成定理2若是以2为周期的函数,且在9证在傅里叶级数部分和中,用傅里叶系数公式代入,可得10令,得因此在上的积分等于上的积分,再由下式,即由上面这个积分看到,被积函数是周期为的函数,11就得到(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.12现在证明(收敛定理).重新叙述如下:光滑,则在每一点的傅里叶级数

3、收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即其中为的傅里叶系数.定理若以为周期的函数在上按段13证只要证明在每一点x处下述极限成立:即或证明同时有14与先证明(10)式.对(9)式积分后得到15由于上式左边为偶函数,因此两边乘以后又得到16从而(10)式可改写为令17取极限得到则函数在点再令右连续.因为在上至多只有有限个第一类间断点,所以在上可积.根据定理1和推论2,18这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.用同样方法可证(11)也成立.19