《D11函数与映射》PPT课件

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1、第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。高等数学

2、中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性。重点极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类难点极限概念及求极限的方法技巧基本要求①能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限②正确理解无穷小量及其与极限的关系③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数极限的保号性质

3、④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区

4、间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:4.绝对值:运算性质:绝对值不等式:绝对值不等式的两个变形公式：二、映射定义.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX，只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排

5、除几个不同的x值与同一个y值对应。对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.一一映射的实质三、函数定义域定义.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，只是在使用时为了

6、方便起见，仍然把它叫做“函数”！几个特殊的函数举例(1)符号函数1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(3)狄利克雷函数有理数点无理数点•1xyo(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(5)绝对值函数oxy定义域R值域三、函数的特性1．函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX无界成立，则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数M(可正，可负)，对一切xI恒有y=

7、f(x)f(x)≤Mf(x)≥m在区间I上是下方有界的,简称有下界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数m(可正，可负),对一切xI恒有成立，则称函数y=f(x)y=f(x)函数y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间I上:xyABO如何证明或判断函数无界？提一个问题：证明或判断无界，通常依据:函数y=f(x)在区间I上无界，则不论M>0的值取得多么大，总使得

8、f(x0)

9、>M成立。易知：