对称矩阵的对角化

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1、定理1>>>(实)对称阵的特征值为实数.定理2设l1,l2是对称阵A的两个不同特征值,p1,p2是对应的特征向量,则p1与p2正交.证明由得于是因此即p1与p2正交.§4.2对称矩阵的相似对角化定理3>>>设A为对称阵,则必存在正交阵P,使其中L为对角阵,以A的特征值为对角元素.用正交的相似变换矩阵化对称阵为对角阵的算法(1)求出n阶对称阵A的所有特征值li.(2)求(liE-A)x=0的一个规范正交基础解系.(3)将求出的n个规范正交特征向量排成一个正交阵P,则P-1AP为对角阵.不妨设则有特别要注意的是,li与pi的位置次序一定要相同.例1设解方阵A的特征值为得基础解系方阵A的特

2、征多项式为求一个正交阵P,使P-1AP为对角阵.当l1=2时,解方程组单位化得当l2=l3=-1时,解方程组得基础解系规范正交化得例1设解方阵A的特征值为方阵A的特征多项式为求一个正交阵P,使P-1AP为对角阵.取正交阵例1设解求一个正交阵P,使P-1AP为对角阵.则有方阵A的特征值为方阵A的特征多项式为作业习题4.2:1.3.定理1实对称阵的特征值为实数.证明设a+bi为对称阵A的任意一个特征值,令则A1仍为对称阵,且有两边乘以得因此,存在非零向量p,使得于是由此可知b=0.证明对于一阶对称阵,定理显然成立.假设对于n-1阶对称阵,定理成立.设A为n阶对称阵,l1是对称阵A的特征值

3、,p1是对应的单位特征向量.取方程正交基的解空间的一个规范令则H为正交阵,且有于是HTAH可以表为分块形式定理3设A为对称阵,则必存在正交阵P,使其中L为对角阵,以A的特征值为对角元素.证明定理3设A为对称阵,则必存在正交阵P,使其中L为对角阵,以A的特征值为对角元素.易知A1为n-1阶对称阵.由归纳假设,存在正交阵P1,使其中L1为对角阵.取且有则P为正交阵,因L与A相似,故L以A的特征值为对角元素.