《不定积分的定义》PPT课件

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1、课题八、不定积分的计算不定积分：若F’(x)=f(x),则称F(x)+C为f(x)的不定积分.记为：，即说明：由定义知，求f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函数，然后加上任意常数C即可。不定积分的性质：（1）（2）（3）主页下页微分与积分的互逆性积分的运算性质课题八、不定积分的计算基本积分公式由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)直接积分法利用基本积分表和积分运算法则,最多对被积函数作适当变形就可以积分的方法,称为直接积分法利用积分表和运算法则例1.求下列不定积分(1)(2)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分

2、法)解答如下（基本公式和法则）(1)(2)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)利用代数变形例2.求下列不定积分(2)(3)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（代数变形）(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)利用三角变形例3.求下列不定积分(1)(2)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（三角变形）(1)(2)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)课堂练习一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度，当t=1时，物体

3、经过的路程为3，求物体运动规律？上页下页课题八、不定积分的计算(直接积分法)课堂练习答案一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？解:,由s(1)=3得所以运动规律--完--上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)前言利用基本积分表和运算法则可以积分的函数非常有限.下面介绍换元积分法---将要计算的积分通过变量替换化成基本积分表中已有的形式,算出原函数后,再换回原来的变量.换元积分法包括:第一类换元积分(凑微分)和第二类换元积分提出问题如何求积分:解决方法像复合函数求导一样,我们引入中间变量u,将被积函数变成基本积分表中

4、的函数,积分后再回代变量.上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)例1.求积分:解：令u=2x,du=2dx,则例2.求积分:解:令u=2x+1,du=2dx,则例3.求积分:解:令u=x+1,du=dx,则上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)其实,在上面的例子中可以这样求解.例4.求积分:(1)(2)(注:回忆前面所讲的微分式子)解(1)因为,所以(2)因为,所以上面这种求积分的方法称为“凑微分法”.上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)复习微分式:例5.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)解:(1)(2)(3)(4)上页下页课题八

5、、不定积分的计算(凑微分法)例6.求下列积分(1)(2)(3)(4)解(1)(2)(3)(4)上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)小结(第一类换元积分,即凑微分)使用环境如果被积函数可以整理为如下形式,则可使用凑微分.注意事项(1)熟悉基本积分公式;(2)熟悉常用凑微分式;(3)明确将哪部分放进微分里(即凑微分).上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)课堂练习求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)-上页下页课题八、不定积分的计算(凑微分法)课堂练习解答求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)--完--上页下页课题八、不定积分的计算

6、(第二类换元法)如何求如下积分呢?通过观察,上面积分很显然不能使用“凑微分法”,所以必须另寻新的积分方法—第二类换元积分(即先作变量替换,积分后再回代变量)第二类换元积分通常包括:根式换元和三角换元根式换元例7.求积分:解:上页下页课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例8.求积分:解:上页下页课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例9.求积分:解:上页下页课题八、不定积分的计算(第二类换元法)三角换元例10.求积分:解:上页下页1课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例11.求积分:解:上页下页1课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例12.求积分:解:上页下页2课题八、不定积分的计算(

7、第二类换元法)小结(第二类换元积分法)使用环境当求积分较困难,但作变量替换后,而新的积分容易积分时使用.若的反函数存在时,有换元方式(1)根式换元(2)三角换元上页下页课题八、不定积分的计算(第二类换元法)课堂练习求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页下页课题八、不定积分的计算(第二类换元法)课堂练习答案求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)--完--上页下页课题八、不定积分的计算(分部积