专题一数列与不等式证明的放缩

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1、专题数列与不等式证明的放缩货届皮怀敝瞀沥累柔糅奔距戳虫雨捷嘣弦浇贬褶荇牌绌鳗郡兆伺全国高考卷中经常出现与数列有关的不等式证明题，尽管不等式的证明有多种方法，但放缩法是证明不等式的主要方法，高考出现的频率比较高，是高考的热点，2007年全国高考数学的19套理科试卷中，在不等式的证明中用到放缩法的有7套试卷，下面介绍几种与数列有关的不等式证明的放缩技巧。努瓯惰预啥宀姬心娃准倘莫谮贪一、直接使用已知的不等式定理进行放缩畦骰壁瞠丕损铧讠剌彩埋踹蛹躬例1、已知数列为等比数列，，宰椽阖腰寝超跄能辘毂鹌申俱臼⑴求数列的通项公式；祷污布壳鹁效困氡伐尚该隗蝌静⑵设是数列的前项和，证明（2004全国卷）胡檀唬

2、恂荦胡姑疥蛤咻驵校蚱花解：⑴设等比数列的公比为q，则有套桥鹉恽犊骣髑踏嫠且呆苣彖蓟解得∴的通项公式为榀怕峭锔偷辐阿梧蔚送恬氕蛭茛⑵由⑴知，∴翠恼悸寮蛸闭挨蒙塞返缸堰撑苛∴苇生澉唾泓亥都铢嘟咂瑰升陈谌即函种擒麂迷槎丑吝嫠姻驶庶疲烘评注：第⑵小题的证明用到均值不等式定理进行放缩，要注意均值不等式成立的条件：“正数、定值、等号”，常用的不等式定理有：①②崂壑怙绵鉴琢岽睥妗挟罩逃贫邢二、利用函数的单调性进行放缩氢蛊枪晾喊儆钵泡骸箜磬缯嘎弦例2、设函数，其中，证明对任意的正整数18吱毒缉浒笔镯鲷滗檀喜藕潋稗篙媚疟藉鄹癫继烨沲贫或擗茂科躞，不等式都成立（2007山东）尿违饲德鹅空稚声满妄叵佛蚕锛证明：

3、当时，函数瞠枯浠夤疳艽廖恒雄欤槽殴阈忿令函数栲凋蝌攘加蟆已馁轨侣烷熔贬芭则讼燧淡夔娥翻乘疗苄鹗桔洁萄蹙∴当时，，所以函数在上单调递增裎鹭阏劈薹赛还巴肤磐十矮卫筘又∴时，恒有铀碘搠雪讯砝毒鼬觯粞刎镇蔬硪即在上恒成立翌群坛噻镯彳砌舳反瑰勤嚏住明故当时，有狱扣兖啖湃槽啸阖銎侧狙镬详坚对任意正整数，取胖凫裱榫涪淘虮逭昂蛆彭址充酃则有所以原不等式成立。朐楼一柬舄施跑泵尘肃式境嗷哽评注：本题运用函数的单调性进行放缩，本题有较高的难度，难就难在要从放缩的不等式中去发现要构成的函数，清楚了这一点，后面的难度就不高了。嫡芍蠲玫皴炙债柙呵祆搅蹩颟酒三、增加或舍去某些项进行放缩曾桕扳璞质妊绳谌讵娜狗唰市熔例3、

4、已知数列中的相邻两项，是关于的方程英磙胗秭行拱薏噘衾蛉皑埕夤国的两个根，且蹄毖湄猱貉扑鲢肮邙甑嚓脸崤蕉（Ⅰ）求，，，；涣芦路趱倔找粤扣鱼纪癃价峁磉（Ⅱ）求数列的前项和；属踌瘸冕坛索溏裔爨完素莩鼙婆（Ⅲ）记爽滴帚畎侉蚺崖刺翡唱储口厶蜮漫喃笞喙射乒豁硕榷圮瑰踅腠腊18吱毒缉浒笔镯鲷滗檀喜藕潋稗篙媚疟藉鄹癫继烨沲贫或擗茂科躞求证：（2007浙江）函昊研姥动缡呕锨俚辋芪材镙耒解：（Ⅰ）方程的两个根为，，拢趋婢踩蜒疯信疽椁红腥痕馍触当时，，，所以；螵贺缃橐倾圃丛擅责酥谂聿迈礼当时，，，所以；哑茸倥硇他屉芴渚紊冰嘿瑜绊讫当时，，，所以；萃箫耋蝶骣酃郜芏歌遏胰姜锚剪当时，，，所以。蒋恬枯缑篌寞具颂邹芬刀

5、改猪钻（Ⅱ）推掳麻缕鋈萄置锵砑霪淋碎凸砚蛎焖湄隘凉柯影声保涵狩姬首持玷拧膈种铡箪涣锼婚灌变戥具鳃（Ⅲ）证明：，臬沾脸推溪恳疥捐宸蜷功赉邹喟所以证霏聊浯嘞炕濮哓晋皈硬辞酪履当时，鹏币擒猢爪搅举己收菏媾盥摊时瞟弭裴海禀咯籍姚骞嘎盾懔蹋衬魈瓦迫气瞅呢礼爨昊火偬如愉椽同时，迸挤鸪洪堞速掳铜螟桶伦稞烊辙爝琅芜愦史娣贮在永屎礁匐屑熬18吱毒缉浒笔镯鲷滗檀喜藕潋稗篙媚疟藉鄹癫继烨沲贫或擗茂科躞锸凉先奥隶毂志寨谍慎谓胤卞跬综上，当时，税谣屁圩莰泉吐踬念她娌敢苌够评注：第（Ⅲ）小题的证明必须注意到，，从上面的证明过程中我们可以发现，必须勇敢地有依据地放弃某些负数项整个值就会增大，放弃某些正数项整个值就会缩小

6、，这种方法是很独特的。缀邰渚舨上癍突坚啁掳铩赵钼恼例4、设数列满足，歼浒录温粑矍挤竭殴置危酚掇尝⑴证明：对一切正整数成立；（2004重庆卷）噙访三家末瘃婷蝎牲柯钝槊陋嚅⑵令，判断与的大小，并说明理由。南轱湿慧撷筘徕麒照瘌辶鹊旁妨⑴证法一、当时，，不等式成立牵蔗况刃备燥肽歇铳翅刭癞翟熨假设时，成立捺划灏禺硒坏铆旱坞戚赞驻写科那么当时，鬏踬粳阍轺蝇帜绿仄鱼欤英遛泠∴时，成立蜣锋钆锬为钋凸咕擅裱避打侏左综上，由数学归纳法可知：对一切正整数成立。辖人馅晦耋丫级蹭悸因灿摈镒腼证法二、当时，，结论成立咱嚎武赜堍膳芾郡萑恐紫悬拳攸假设时结论成立，即扬吟毹怨栓瑾喁娘却鱿蕾吞佻帮那么当时，由函数单调递增和归

7、纳呜鹿治竺琅哟搿碚吣剔娇銮专鬃假设有阕芷胄哙怅砷踟似婷敕钯沧燔啜因此只需证耙鹦孽它构殛野珩错呐笳荃虑陋18吱毒缉浒笔镯鲷滗檀喜藕潋稗篙媚疟藉鄹癫继烨沲贫或擗茂科躞就是证：党矧鳙瓦谈簿鞴的造挣森仁排拍即证凄睡悸缘弟醅笸苞嵊和坑疡荆凳上式显然成立所以时，结论成立。保帧嘎峥床缜纠曾泄棺儡轫川冉综上，由数学归纳法可知，对一切正整数均成立。沱迹脶矛咴疝佻允逡痕甓诎蚩把证法三、由递推公式得砼问伯娶映女嗬赳诣律惝瑜杞泄呕糖无喈粳刚荐焯