《函数微积分基础》PPT课件

《《函数微积分基础》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、极限和连续1.数列极限2.函数极限3.连续函数数列的极限授课计划学时：2学时（1次课）内容：1.数列极限的定义2.数列极限的性质3.数列收敛的判定定理数列极限的概念例1：我国古代哲学著作《庄子》“天下篇”中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”它描述了截取过程中棒长剩余量的变化情况，用数学描述其过程，可得如下数列数列极限的概念例2：我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆的面积的方法——割圆术，用数学描述其过程，可得如下数列数列极限的概念数列极限的概念如果当n越来越大时，an和某个常数A靠得越来越近，就说数列{an}极限是A，

2、记为数列极限的概念但是考察下面的数列，你会发现，当n越来越大时，an和某个常数A“靠得不是越来越近”数列极限的概念为什么会出现上述情况呢？原因在于“越来越大”和“越来越近”比较含糊，需要给出确切的含义.数列极限的概念定义：设{an}为一数列，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切an，不等式

3、an-A

4、<ε都成立，则称数列{an}收敛于A，A称为数列{an}的极限.记作不收敛的数列称为发散数列.数列极限的概念注：①ε的任意性②N的不唯一性和依赖性③定义的数学记号表示法几何解释如下：数列极限的概念例题：收敛数列极限的性

5、质定理2.1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的.定理2.2（有界性）收敛数列是有界的.定理2.3（保号性）如果数列{an}的极限A≠0，则存在N∈N，使得当n>N时的一切an都与A同号.收敛数列极限的性质定理2.4（四则运算法则）收敛数列极限的性质定理2.5（保序性）设数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，若存在N∈N，当n>N时an≤bn，则A≤B.数列收敛性的判定准则定理2.6（夹逼原理）设数列{an}的极限和数列{bn}的极限均为A，若存在N∈N，当n>N时an≤cn≤bn，则cn－>A.数列收敛性的判定准则数列收敛性的判定准则定理2.7（

6、单调有界原理）单调有界数列必有极限.另外的描述：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛.数列收敛性的判定准则定理2.8（Cauchy收敛准则）略练习课本P23例题和P27习题1.2函数的极限授课计划学时：6学时（3次课）内容：1.函数极限的定义2.无穷小和无穷大3.性质和判定定理4.两个重要极限5.无穷小阶的比较函数极限的概念若记an＝f(n)，易见数列是一种特殊的函数，仿照数列极限的定义，下面我们给出函数y＝f(x)当x－>∞时收敛的概念函数f(x)当x－>+∞时的极限定义1：设y＝f(x)为一函数，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数

7、X，使得对于适合x>X的一切x，都有不等式

8、f(x)－A

9、<ε成立，则称A为函数f(x)当x－>+∞时的极限.记作函数极限的概念例题：证明函数f(x)当x－>－∞时的极限定义2：设y＝f(x)为一函数，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得对于适合x<－X的一切x都有不等式

10、f(x)－A

11、<ε成立，则称A为函数f(x)当x－>-∞时的极限.记作函数极限的概念例题：证明函数f(x)当x－>∞时的极限定义3：设y＝f(x)为一函数，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得对于适合

12、x

13、>X的一切x都有不等式

14、f(x)－A

15、<

16、ε成立，则称A为函数f(x)当x－>∞时的极限.记作函数极限的概念几何解释:函数极限的概念可以证明水平渐近线：函数极限的概念在很多实际问题中还需要研究当自变量x趋于有限值x0时函数y＝f(x)的极限问题。函数f(x)当x－>x0时的极限定义4：设函数y＝f(x)在x0的某去心邻域内有定义，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合0<

17、x－x0

18、<δ的一切x,都有不等式

19、f(x)－A

20、<ε成立，则称A为函数f(x)当x－>x0时的极限.记作函数极限的概念几何解释:函数极限的概念函数极限的概念定义5：设函数y＝f(x)在x0的左侧某个

21、邻域内有定义，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合x0－δ

22、f(x)－A

23、<ε成立，则称A为函数f(x)当x－>x0时的左极限.记作函数极限的概念定义6：设函数y＝f(x)在x0的右侧某个邻域内有定义，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合x0

24、f(x)－A

25、<ε成立，则称A为函数f(x)当x－>x0时的右极限.记作函数极限的概念可以证明函数极限的概念无穷小定义7：当x－>x0(x－>∞)时，以零为极限的函数α(x)称为当x－>x0(x－

26、>∞)时的无穷小量，简称为无穷小.无穷小的等价定理定理1：其中α(x)是当x－>