《向量代数》PPT课件(I)

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1、向量既有大小,又有方向的量称为向量，向量的大小称作向量的模.向量的表示1.向量的概念§2向量代数向量的模向量大小叫做向量的模.即所有有向线段的长称为其模。（2）模为1的向量称为单位向量。（3）模为0的向量称为零向量，记做0，零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等。【注】（1）

2、·

3、不是绝对值。在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的运动速度）。而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量。定义1由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定定义2定义3定义4模为零的向量称为零向量，记作0.定义5模为1的向量称为单位向量

4、(I)向量的加法2.向量的线性运算上述向量加法定义称为三角形法则同样，有平行四边形法则如下图若两个向量在同一直线上（或者平行），则它们的和的规则为：(1)若a,b同向，其和的方向就是a,b的共同方向，其模为a的模和b的模之和；(2)若a,b反向，其和的方向就是a,b中较长的向量方向，其模为a,b中较大的模与较小的模之差；（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律:(a+b)+c=a+(b+c)（3）a+0=0+a=a（4）a+(－a)＝0向量的加法满足下列运算律：++++(II)向量的减法(II)向量与数量的乘法是一个数,与

5、a的乘积规定为：特别的：当=1时，(-1)与互为负向量，故有(-1)=(-1)数量和向量的乘积满足下列运算规则：（2）分配律：+=+；+=+；（1）结合律：==；定义6平行与同一直线（或平面）的向量组称为共线的(共面的)向量组.定理1证明：必要性.注：当b≠0时，定理2例1已知平行四边形两邻边向量其对角线交点为M，求解：OABCMab在空间直角坐标系下,设点P则的坐标为3.向量的坐标表示对于始点不在原点的向量，由此可见:空间向量的坐标等于其终点坐标减起点坐标。有了向量的坐标表示形式后，向量之间的运算就

6、可转化成向量的坐标的代数运算了。设，则此外也可以得到：（1）两个向量共线的充要条件是它们的坐标对应成比例；（2）三个向量共面的充要条件是它们的坐标构成的行列式为零。方向角与方向余弦与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以方向余弦有如下两个基本性质：（1）任一向量的方向余弦的平方和等于1，即（2）一个单位向量的坐标就是其方向余弦，即解:例2已知两点和计算向量的模、方向余弦和方向角.解:例3设点P把有向线段分成定比，即已知设解:练习已知的两个方向角，且由方向角的性质可知：与z轴相交为钝角，因为该角为钝角，所以设

7、的终点B的坐标为则有得则B的坐标为4向量的数量积在物理学者能够我们知道，当作用在物体上的力F与物体的位移s有夹角为时，则力F所做的功为：两个向量位移确定的，所以称它为这两个向量的数量积，功是一个数量，它是由力F和位移s定义设两个向量注数量积的坐标表示数量积满足的运算定律解:例4已知例5求单位向量解:设，使得与向量5向量的向量积注：两向量的向量积的模的几何意义：等于以a，b为邻边的平行四边形的面积向量积又称为外积或者是叉积由向量积的定义，很容易得到：不加证明地给出向量积的性质和运算规律:定义设，由A，B分别向直线l(或者平面π)作垂线，垂足分别为A’，B’,则称为a在直线l(

8、或者平面π)上的投影。显然，相等的向量有相等的投影，向量和的投影等于向量投影的和。向量积的坐标表示：例6已知三角形的顶点解:6向量的混合积向量混合积的几何意义：的绝对值等于以a，b和c为相邻的平行混合积有下列性质：六面体的体积混合积的坐标表示：例7证明：空间四个点解:例8已知四面体的顶点是解: