《含参变量常义积分》PPT课件

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1、11-2含参变量的正常积分我们经常遇被积函数含参变量的定积分，如其中与是参变量.显然，这种定积分的值依赖于参变量，并且是参变量的函数.一般说来，我们无法将这种积分表示成参变量的初等函数.然而我们却需要知道这种函数的性质：如是否连续？是否可导？如何求它们的导数与积分？等等.设在闭矩形域上连续。把固定，函数成为的一元函数，若这个函数在上可积，则是一个与有关的数，它是的函数，其定义域为。称积分为含参变量的正常积分，参变量是。类似地称为含参变量的积分。是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性等定理。

2、定理1设在闭矩形域上连续，则是上的连续函数。证明：要证是上的连续函数。定理1设在闭矩形域上连续，则几何说明：它在平面上的投影为函数值说明在上连续。定理1说明：即也就是说在定理的条件下，极限运算和积分运算可以交换次序，或者说极限运算可以通过积分号。例1求解被积函数在闭矩形域：上连续，所以当时可在积分号下求极限，即注意：在积分号下求极限是有条件的，就是二元函数才可以作.下面的例子说明积分号下求极限并不成立：事实上，有对于任意固定的我们有从而定理2设在矩形上连续，则例2求定积分解这里被积函数在及处无定义.但易求出因此，及是被积函数的第一

3、类间断点.经过补充定义后，被积函数在[0,1]上是连续的.所以，上述积分仍是正常积分.另外，由则由于函数在上是连续函数.故由定理2知上述累次积分可交换次序，即有定理3设和都在矩形上连续，则即求导运算与积分运算可以交换次序，或者说微分运算可以通过积分号.证明要证由拉格朗日中值定理，有于是因为定理证毕.例3求定积分解均在闭矩形域连续.由定理3,有代入上式，得由于为中任意选定的一点，以上说明则在可导，并且定理4设和都在矩形上连续，含参变量的积分证引入函数则复合的复合函数.并且有将这些等式代入链规则公式：例4设解