高三数学(理科)专题【19】《分类讨论思想》

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1、专题19分类讨论思想思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.22.分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比

2、数列的前n项和公式、函数的单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分

3、类讨论的原则(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论热点二由图形位置或形状引起的讨论热点三由参数引起的分类讨论热点分类突破热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中

4、除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.思维升华变式训练1答案C(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对解析∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.答案D热点二由图形位置或形状引起的讨

5、论解析画出不等式组表示的平面区域(如图).当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个).答案20(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足

6、PF1

7、∶

8、F1F2

9、∶

10、PF2

11、＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________.解析不妨设

12、PF1

13、＝4t，

14、F1F2

15、＝3t，

16、PF2

17、＝2t，若该圆锥曲线是双曲线，则有

18、PF1

19、－

20、PF2

21、＝2t＝2a，求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置

22、变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.思维升华变式训练2答案D解析若∠PF2F1＝90°，则

23、PF1

24、2＝

25、PF2

26、2＋

27、F1F2

28、2，若∠F2PF1＝90°，则

29、F1F2

30、2＝

31、PF1

32、2＋

33、PF2

34、2＝

35、PF1

36、2＋(6－

37、PF1

38、)2，解得

39、PF1

40、＝4，

41、PF2

42、＝2，例3(2014·四川改编)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71

43、828…为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.热点三由参数引起的分类讨论解由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a].所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单