高中数学数列数列的概念与简单表示法

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1、第一节　数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照_________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的___．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数_____无穷数列项数_____项与项间的大小关系递增数列an＋1___an其中n∈N*递减数列an＋1___an常数列an＋1＝an一定顺序项有限无限><3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与_______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n

2、>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．序号n1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？2．数列的函数特征是什么？【提示】数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．【解析】根据数列的前3项验证．【答案】B2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33【解析】a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.【答案】B3

3、．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5－1－1)．则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30【解析】由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】B【答案】A5．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形．1．求数列的通项时，要抓住以下几个特征．(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项

4、后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．【思路点拨】消去Sn，可得an与an－1的递推关系，进而求出an.1．本题主要考查利用赋值法求数列中的项，以及利用an与Sn的关系，借助累乘法求数列的通项公式．2．利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项

5、；否则an应利用分段函数的形式表示．若Sn满足的条件变为如下形式，则又如何求an?(1)Sn＝n2＋n＋1；(2)log2(2＋Sn)＝n＋1.已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4.①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立．求实数k的取值范围．【思路点拨】(1)求使an＜0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性1

6、．本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．设函数f(x)定义如下表：定义数列{an}：a0＝2，an＋1＝f(an)，n∈N.(1)求a1－a2＋a3－a4＋…－a2010＋a2011；(2)若a1＋a2＋a3＋…＋an＝1000，求n的值．x12345f(x)34251【解】(1)由题意知，a1＝

7、4，a2＝5，a3＝1，a4＝3，a5＝2，a6＝4，…，数列{an}为周期数列，最小正周期为5，而a1－a2＋a3－a4＋…＋a9－a10＝0，a2011＝a1＝4.∴原式＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2008＋a2009－a2010＋a2011＝4.(2)∵一个周期内的和为15，∴1000＝15×66＋10，又a1＋a2＋a3＝10，∴n＝66×5＋3＝333.数列的概念及表示法在每年的高考中都有所体现，尤其是根据an与Sn的关系求an和由递推公式求通项公式，更是高考的热点．题目以能力立意为中心，注重以求数列通项为背景的新情境题目，常与函数、方程(不

8、等式)、解析几何等知识交汇命题．创新探究之六　数列与函数交汇问题的