复变函数课件--复变函数4级数

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1、第四章级数§1复数项级数11.复数列的极限设{an}(n=1,2,...)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e>0,相应地能找到一个正数N(e),使

2、an-a

3、N时成立,则a称为复数列{an}当n时的极限,记作此时也称复数列{an}收敛于a.2定理一复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是[证]如果,则对于任意给定的e>0,就能找到一个正数N,当n>N时,3反之,如果42.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)

4、为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+...+an称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛,5定理二级数收敛的充要条件是级数和都收敛[证]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为和的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在,即级数和都收敛.6定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问

5、题.7定理三[证]8910另外,因为的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.11[解]1)因122)由于an=ncosin=nchn,因此,当n时,an.所以an发散.例2下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)因发散;收敛,故原级数发散.132)因,由正项级数的比值审敛法知收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.3)因收敛;也收敛,故原级数收敛.但因为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.14§2幂级数151.幂级数的概念设{fn(z

6、)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)称为这级数的部分和.16存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果对于D内的某一点z0,极限s(z)称为级数的和函数17这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.

7、2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:18定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO19[证]2021222.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收

8、敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.23显然a

9、z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.25例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为26273.收敛半径的求法2829303132例2求下列幂级数的收敛半径333435364.幂级数的运算和性质象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.3738更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂

10、级数时,有着广泛的应用.3940Oxyab当

11、z-a

12、<

13、b-a

14、=R时级数收敛41423)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即434445464748