高等数学1.11闭区间上连续函数的性质

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1、§1．11闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值二、介值定理最大值与最小值、最大值和最小值定理、有界性定理零点、零点定理、介值定理一、最大值与最小值举例：最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）函数f(x)=1+sinx在区间[0，2p]上有最大值2和最小值0．012xyO1-1函数f(x)=sgnx在区间(-，+)内有最大值1和最小值-1．一、最大值与最小值举例：最大值与最小值：对于在区间I上有定义

2、的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）xyO1在开区间(0，+)内，sgnx的最大值和最小值都是1．一、最大值与最小值举例：最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．xyOy=xab一、最大值与最小值举例：最大值与最小值：对于在区间

3、I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）注1：定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么至少有一点x1[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，又至少有一点x2[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值．abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x)定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间

4、断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．在开区间(a，b)考察函数y=x．函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．xyOy=xab定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．在闭区间[0，2]考察函数yx2112O函数y=f(x)在开区间[0，2]内既无最大值又无最小值．注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．证明设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．由

5、定理1，函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M和最小值m，使任一x[a，b]满足mf(x)M．上式表明，f(x)在[a，b]上有上界M和下界m，因此函数f(x)在[a，b]上有界．定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．二、介值定理零点：如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点．abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），

6、那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x(a0，f(1)=-2<0．根据零点定理，在(0，1)内至少有一点x，使得f(x)=0，即x3-4x2+1=0(0

7、f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x(a

8、．连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.abOxyy