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1、基于小波奇异性的机械故障检测摘要：介绍了小波变换的基本原理及小波奇异性用于机械故障检测的基本原理，提出了一种基于小波奇异性的机械故障检测方法，并根据小波变换模极大值在不同尺度下的分布来完成故障的检测。仿真实验证实了该方法的可行性。关键词：小波变换；奇异性；机械故障检测1引言小波分析(WaveletAnalysis)经过近二十年的发展，被认为是傅里叶分析发展史上里程碑式的进展。小波分析之所以得到人们的高度重视，一方面，它被看成是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；另一方面它已经和将要广泛应用于信号处理、图
2、像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成倍、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数学电视等科技领域。随着机械行业自动化水平的不断提高，为了保证生产的高效和安全，人们对生产设备状况的在线检测和故障诊断提出了更高的要求。在故障诊断领域，信号的奇异性或突变点通常包含了丰富的故障信息。确定信号奇异性的传统方法是根据Fourier变换收敛于零的快慢来判定该信号的奇异性及奇异性强弱.在机械设备故障诊断中，常常只对设备的局部区域所引起的信号局部变化感兴趣，这些信号由于非常
3、微弱，能量很小，往往容易被噪声淹没而难以辨别。当故障诊断应用傅立叶变换进行分析时，不能进行局部化分析。而具有良好时—频域局部化特性的小波变换，对信号奇异性、奇异点的位置及奇异度大小的分析尤为有效，能对信号的高频、短时成分准确地在时域和频域中进行分析，可将故障特征信号有效地分离出来，从而对故障作出分析与解析。本文利用小波奇异性原理进行机械系统故障检测，并通过仿真实验证实了该方法的可行性，取得了满意的效果。2小波变换与信号的奇异性理论(1)小波变换的基本理论小波分析的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这
4、一族函数称为小波函数系，它是通过一基本小波函数的平移和伸缩构成的，用其变换系数即可描述原来的信号。通常，我们称满足如下允许条件：(1)的平方可积函数（即）为一基本小波或小波母函数。把小波母函数进行平移和伸缩而成的函数(2)称作分析小波,式中，为实数，分别称为伸缩和平移因子。连续小波变换定义为(3)式中，*表示卷积，由式(3)可以得知，小波变换是尺度因子a和空间位置b的函数。小波变换通过在尺度上的伸缩和空间域(时域)上的平移来分析信号。(2)小波奇异性理论定义1设为非负整数,且,如果存在两个常数和及次多项式使得(
5、4)则称在点处为Lipschitz-类。如果对所有的，式（4）均成立，则在上是一致的Lipschitz-类。定义2（信号的奇异性）设为连续信号，如果在不是Lipschitz-1类，则称在处是奇异的。关于信号的奇异性有如下结论：函数的Lipschitz指数越大，则越光滑。函数在一点连续、可微或不连续但导数有界，Lipschitz指数均为1。如果函数在处Lipschitz指数小于1，称函数在该点是奇异的，因此，函数在处Lipschitz指数刻画了函数在该点的奇异性。信号的Lipschitz指数可以用其定义来计算，但
6、过于复杂，且没有考虑噪声的影响。小波变换具有良好的局部化能力，且能更有效的刻画信号的局部奇异性。对孤立的奇异点，小波系数绝对值趋于零的速度小于其邻域小波系数绝对值趋于零的速度，这表明信号小波变换在该点取得局部模极大值。因而小波变换可以确定信号奇异点的位置和定量描述信号局部奇异性的大小。3小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：设为一光滑函数，且满足条件，不妨设为高斯函数，即，令由于，因此，可取函数作为基小波。对函数的关于的小波变换可写成(5)其中，仍为高斯函数，
7、不妨设>0,则(6)积分可看作是函数f(x)用高斯函数按尺度进行光滑后的结果，当很小时,用对光滑的结果对的突变部分的位置及形状影响不大，由式(6)可知,小波变换模与尺度下光滑后函数的一阶导数成正比。因此，的极大值点对应的是的突变点，当尺度较小时,的突变点就是本身的突变点。这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。定理1(预备定理)：对于平稳随机信号,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子的增大而趋于零。证明：===(是的均值函数)。
8、为了保证逆变换的存在，要求=0,则=0。设,其中，是零均值平稳随机噪声，则=。由于=0,则=。噪声可以看成白噪声驱动的某个线性滤波器的输出。即*,则=**(t)。设和分别是的功率谱和方差，和分别是,的FT,则==。令,=,则===，所以，随着尺度的增大，趋于零,也即是随着的增大趋于零。一般说来，机械设备在正常运转时，系统输出的信号由确定性信号和平稳随机噪声叠加而成，其小波变换是两部分小
