《导数和矢量运算》PPT课件

《《导数和矢量运算》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.1.1导数1.1.2导数的运算1.1.3单变量函数的微分1.1.4积分附录1.1微积分简介www.physics.sjtu.edu.cn/~zhy一、定积分微分和积分是对立面的统一。1.1.4积分[例]物体作匀速直线运动，路程＝速度时间，即s＝vt。在v-t图中，路程s为阴影的面积。[例]若物体作变速直线运动，速度v＝v(t),可以把t分成许多均等小段t，只要t充分小，每段时间中的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的路程相加，即近似为总路程，曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。当时,右边的极限值就是所求总路程

2、：上式可用积分形式表达：定积分的上、下限、被积函数、积分变量即定积分形式。定积分的一般形式：几何意义:从0到t这段时间中v(t)曲线下的面积。二、基本定理如果被积函数f(x)是某一个函数(x)的导数，f(x)＝’(x)，则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于(x)在这区间内的增量。(x)称为原函数积分是导数的逆运算求[解][例]找的原函数：因为故:三、不定积分不定积分是不定出上、下限的积分，可写成式中C为常量，可根据具体问题所给的条件定出此常量已知曲线的切线斜率为若曲线经过点求此曲线方程。[例](1)求曲线

3、方程；[解](1)设曲线方程为已知故不同的C对应不同的曲线。曲线经过点把代入曲线方程，则曲线方程为:四、基本积分公式一、矢量定义二、矢量的合成附录1.2矢量一、矢量定义物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。矢量的大小—矢量的模•模等于1的矢量—单位矢量•需要以大小和方向表示的物理量—矢量，如：速度、加速度、力。•只有大小而无方向的量—标量，如：温度、质量、体积。用图表示矢量—用有向线段表示：长度表示其大小，箭头表示其方向。矢量平移时大小和方向不变。二、矢量的合成1.三角形法则：余弦定理几何关系若两个以上的矢量相加所有

4、的矢量首尾相连2.解析法将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量只需用带正号或负号的代数值表示三、矢量的标积(点乘)两矢量相乘得到一个标量标积。其定义为：投影根据标积定义推论：(3)若两矢量垂直(4)直角坐标系的单位矢量具有正交性四、矢量的矢积(叉乘)两矢量相乘得到一个矢量矢积。写成：若则根据矢积定义推论：规定：若则五、矢量的导数设矢量为时间t的函数，规定其对时间的导数为：在直角坐标中，为常矢量一般情况下有以下性质：六、矢量的积分一般采用直角坐标分量式计算。矢量的线积分：矢量的面积分,就是计算矢量通过曲面的通

5、量N:在正法线方向的分量一、函数有两个互相联系的变量x和y，每当x取了某一数值后，按照一定的规律就可以确定y的值，就称y是x的函数，记作y＝f（x）或y＝y（x），x为自变量，y叫因变量。自由落体运动:物体从离地面为h0高度处开始下落，则物体与地面的距离依赖于时间t的规律是：1.1.1导数这里t为自变量，h为因变量，也可记为：二、极限当自变量x无限趋于某一数值x0(记作xx0)时，函数f(x)的数值无限趋于某一确定的数值a，则a叫做xx0时函数f(x)的极限值，记作：在三角函数中，当x无限向正向增大时，arctanx无限接

6、近，用极限表示：类似有：三、导数当自变量x由一个数值x0变到另一个数值x1时，后者减去前者叫作该自变量的增量，记作函数x＝x1－x0.增量可正可负，y与自变量的增量x密切相关，两者之比：称增量比。与此对应，因变量y的数值由y0＝f(x0)变到y1＝f(x1)，增量为：存在，则该极限就称为函数f(x)在x点的导数，记为，f'(x)或y'。定义：如果极限四、导数的意义(1)导数是函数在一点(而不是一个区间里)的变化率，物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子。(2)几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的斜率，就是函数在这一点的

7、导数值。设函数y＝f(x)，在曲线上取一点A，A'是曲线上另一点，割线AA'和x轴的夹角记为。当A'点沿着曲线趋近于A时，割线AA’趋近于某一极限位置AT，显然，直线AT就是曲线在A点的切线，AT与x轴所成的夹角即为变角的极限。导数的几何意义曲线上横坐标为x0的一点A处的切线斜率就是函数f(x)在x0处的导数值f'(x0)。一、基本函数的导数运算举例1.1.2导数的运算求[解]求及[解]当时，二、常用初等函数的导数公式三、导数运算法则以下设u,v为x的函数，且导数u’,v’存在(1)和（差）的导数，由极限的加法法则：(

8、2)积的导数：(3)商的导数：(4)复合函数的导数法则，设y＝f(v)，v＝(x)均有导数，则或求[解][例1]求[解][例2]求[解][例3]求双曲线在任意点的切线斜率。[解][例4]切线斜率为，在方程中逐项对x求导于是，此即曲线在坐标为(x,y)的点的切线