江西 程峰 漫谈三角形数

《江西 程峰 漫谈三角形数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、漫谈“三角形数”江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰cfpk0808@163.com古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性。下面从几个角度讨论这个三角形数列。一，找三角形数的规律即如何用含n的式子表示第n个数。分析：1，因为……所以这一列数不满足一次函数关系式。2，显然这一列数不满足反比例函数关系式。3，假设这列数满足二次函数关系式，设第n个数为S=an+bn+c,由于第1个数是1，即（1，1），第2个数是3，即（2，3），第3个数是6，即（3，6），把（1，1），（2，3），（3，6），分别代入S=an+bn+c,得a+

2、b+c=1解得a=4a+2b+c=3b=9a+3b+c=6c=0∴s=n(n+1),经检验s=n(n+1)符合要求。因此三角形数列的第n个数是n(n+1)。二，为什么把这列数称为三角形数呢？1,从s=n(n+1)形式上看，第n个数s可以看作是底边和高分别是n+1,n的三角形的面积。2，把数1，3，6，10，15，21……换一种方式排列，即1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15……1+2+3+4+5+6+……n-1+n=n(n+1)从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，21……叫做三角形数“名副其实”。三，三角形数列的变形在

3、原数列的1前面添上一个0仍然是三角形数列，此时第n个数是n(n-1)。1，把三角形数列0，1，3，6，10，15，21……依次相邻两数相加得0+1=1=1，1+3=4=2，3+6=9=3，6+10=16=4，10+15=25=5……得平方数列：1，4，9，16，25，……n.2,把三角形数列0，1，3，6，10，15，21……依次相邻两数相减（后减前）得1-0=1，3-1=2，6-3=3，10-6=4，……得自然数列1，2，3，4，5，……n.四，三角形数列与杨辉三角形课标北师大版七年级下第42页读一读中介绍了杨辉三角形，如图1.观察杨辉三角形，不难发现三角形数列正

4、好是杨辉三角形的一部分，这是一种巧合还是一种必然呢？同学们在高中学习二项式定理后就知道了。111121133114641151010511615201561¨¨¨图1五，三角形数列的应用1，数列0，1，3，6，10，15，21……n(n-1)的应用，现举几例。（1），一条线段上共有n个点，以这些点为端点的所有线段条数是n(n-1)（n≥2).⑵，平面上有n条直线两两相交，则交点个数最多是n(n-1)（n≥2).(3),平面上有n个点（没有任何三点在同一直线上），过其中任意两点画直线，则最多有n(n-1)（n≥2)条直线。（4），n个人见面相互握手，每两人都要握手一次

5、，则这n个人一共要握手n(n-1)（n≥2)次。2，数列1，3，6，10，15，21……n(n+1)的应用，现举几例。（1），如图2所示，则第63行，倒数第9个位置上的那个数是2008.（2）如图2所示，若用有序实数对（n,m）表示第n行，从左到右第m个数，例如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是23.(3)自然数按图2方式排列，那么第20行从右数第1个数是210，第n行从右数第1个数是n(n+1)。123456789101112131415……图2