《差分方程》PPT课件(I)

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1、主要内容差分方程建模实例一、差分方程的概念二、差分方程的建立三、差分方程的求解五、一阶非线性方程四、发生函数方法差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便于处理和研究。一阶差分方程n阶差分方程修正模型差分方程建模实例例1种群生态学中的虫口模型。在种群生态学中考虑象蚕、蝉这种类型的昆虫数目（即“虫口”）的变化，注意这种虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。

2、第n年的虫口数成虫平均产卵数阻滞系数标准形式（Logistic方程）影响虫口的因素周围环境提供的空间和食物有限虫子之间为了生存互相竞争而咬斗传染病及天敌对虫子生存的威胁简化——规律咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件只虫子配对的事件总数影响虫口的因素量化例2鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问题的模型。n单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量鲨鱼和小杂鱼的繁殖率（1）不考虑它们相互之间的影响（2）考虑它们相互之间的影响小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为用差分方程解决实际问题的步骤：第一步设定

3、好实际问题中的未知函数（数列），按照已知相关领域的物理、力学、经济的学科的规律建立相邻的自变量值（一般就是相邻的时间）的未知函数取值间的依赖关系，建立差分方程模型。第二步对已建立的差分方程模型，若能直接求解的则求出其解，若不能求解或直接求解比较困难的，则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质。第三步将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照，然后给实际问题一个满意的答复。一、差分方程的概念1.差分的概念及简单性质实数序列二阶差分一阶差分差分算子例求序列的一阶差分与二阶差分。MATHEMATICA定理1若序列的通项公式是

4、的一次函数，则其一阶差分为常数，二阶差分为零。反之依然。序列图形（点列）与差分间的关系0.3826030.9101950.600957-0.260798-0.882776-0.6931340.1337720.8376890.771438-0.004068数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较增减性凹凸性函数数列2.差分方程由方程的迭代关系可得方程的任意有限项（方程的数值解），特殊情形能得到序列的通项公式。定义含有序列的任意项且含有其差分的方程称为差分方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。定义差分方程的一个

5、解析解是指序列的一个通项公式，把它代入差分方程，就得到一个恒等式。若解中不含任意常数，称这样的解为方程的特解，若解中含有任意常数，称这样的解为方程的通解。二、差分方程的建立例1某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据：时间（小时）真菌生物量pn真菌的变化pn09.65.8115.49.2224.614.7339.323.6463.037.75100.7建立方程例2某人在银行贷款，打算每月还款200元。假定贷款年利率为12%（月利率为1%），设为第个月开始时的欠款，建立还款模型。（一阶线性常系数非齐次差分方程

6、）MATHEMATICA贷款分别为5000，20000，25000的还款情况比较例3冰箱冷藏室的温度调节在50C。饮料放在冷藏室后每分钟温度的变化与冰箱温度和饮料温度的差成正比，通过实验知比例系数约为0.008。设饮料放入冷藏室n分钟后为tn，求其温度变化遵循的差分方程。例4Fibonaccii问题。考虑家兔的繁殖，假定现有一对幼兔（一雌一雄），在它们成长成一对成兔后每月生一对幼兔，而每对幼兔在一个月后变成成兔。如果一代一代繁殖下去，问在n个月后将有多少对家兔？第0个月第1个月第2个月第3个月第4个月11235—

7、幼兔—成兔第n个月家兔的对数成兔对数幼兔对数第n+1个月家兔的对数成兔对数幼兔对数Fibonaccii数列例5硬币喷泉问题（n个硬币的一种多行排列）。第一行是k个硬币两两相邻，任何更高行的每个硬币恰好与其下面一行的两个硬币接触，称其为（n,k）—喷泉。两个（17，8）—喷泉喷泉块：每一行的硬币邻接问题有多少个喷泉块它的第一行恰好是k个硬币？喷泉块非喷泉块递推公式一般情形三、差分方程的求解一阶线性方程一阶线性差分方程对应齐次方程齐次方程（2）的通解为设为常数，方程（1）有常值解，则此时，方程（1）有通解（特解）二阶

8、线性方程二阶线性齐次差分方程设满足方程（3），则（特征方程）则得通解1）若方程（4）有两个不同的实根和，（其中为任意常数）2）若方程（4）有两相同的实根，则得通解（其中为任意常数）3）若方程（4）有两复数根，则得通解（其中为任意常数）例1求解（一阶非线性差分方程）解得（原方程的解）例2求解Fibonaccii方程对应的特征方程为，解得因此方程的通解为试用Mathemati