《微积分基本公式》PPT课件

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1、14.2微积分基本公式问题的提出积分上限函数及其导数牛顿—莱布尼茨公式小结思考题作业(v(t)和s(t)的关系)★☆☆fundamentalformulaofcalculus第4章定积分与不定积分2通过定积分的物理意义,例变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为(v(t)和s(t)的关系)设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数,一、问题的提出其中分的有效、简便的方法.找到一个计算定积4.2微积分基本公式所以为了叙述上的方便,引入原函数的概念.3定义4.2例原函数的定义如果在

2、区间I上,则称F(x)为f(x)在I上的一原函数.个或由知是原函数.也是的原函数,其中C为任意常数.4.2微积分基本公式4一般,亦为f(x)的原函数(C为任意常数).因一个函数如果有原函数,就有无穷多个.则若F(x)为f(x)的一个原函数,4.2微积分基本公式如果能从v(t)求出s(t),运算.定积分运算就可化为减法启发？定积分的计算有捷径可寻进行一般性的讨论.5定积分:积分上限函数注一定要分清函数的如果上限x在区间[a,b]上任意变动,每一个取定的x值,则对于定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,设f(x)在[a,b]中可积,则对任

3、一点与自变量x积分变量t.二、积分上限函数及其导数记为变上限定积分4.2微积分基本公式6这个函数的几何意义下面讨论这个函数的可导性.是如图红色部分的面积函数.4.2微积分基本公式7练习考研数学一至四,选择题,4分如图,连续函数y=f(x)在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周.则下列结论正确的是4.2微积分基本公式8练习2009年考研数学一,二,三,选择题,4分设函数y=f(x)在区间上的图形为则函数的图形为4.2微积分基本公式9练习2009年考研数学一,二,三,选择题,4分设函数y=f(x)在区间上的图

4、形为则函数的图形为此题为定积分的应用知识考核,由y=f(x)的图形可见,其图像与x轴,y轴及所围图形面积的代数和为所求函数F(x).从而可得出几个方面的特征:①②③④4.2微积分基本公式10证定理4.3(原函数存在定理)因为从而则积分上限函数是[a,b]上的可导函数,且对上限的导数等于被积函数在上限处的值.即4.2微积分基本公式11积分中值定理故则同理可证则同理可证积分区间可加性4.2微积分基本公式12定理4.3指出:和积分联结为一个有机的整体(2)连续函数f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.(1)积分运算和微分运算的关系,它把微分所以它是

5、微积分学基本定理.函数—微积分,4.2微积分基本公式13推论4.2微积分基本公式14例解例解4.2微积分基本公式15例解4.2微积分基本公式16例解这是型不定式,分析应用洛必达法则4.2微积分基本公式17练习2009年考研数学(二),填空,4分曲线解在点(0,0)处的切线方程为所以,曲线在点(0,0)处的切线方程为:4.2微积分基本公式18练习考研数学(二),填空,4分设函数解4.2微积分基本公式19练习考研数学二解答题,10分设f(x)在区间且满足其中f-1的是f的反函数,求f(x).上的单调、可导函数,解两边对x求导,得4分即6分4.2微积分基本公

6、式20练习考研数学二解答题,10分设f(x)在区间且满足其中f-1的是f的反函数,求f(x).上的单调、可导函数,8分故由题设知,因此,10分积分4.2微积分基本公式21例解求极限考研数学(三),5分用法则用法则4.2微积分基本公式22证例证明函数为单调增加函数.4.2微积分基本公式23为单调增加函数.故4.2微积分基本公式24证令为单调增加函数.证明:只有一个解.例所以原方程只有一个解.或4.2微积分基本公式25定理4.5（牛顿-莱布尼茨公式）证牛顿(英)1642―1727莱布尼茨(德)1646―1716如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]

7、上的一个原函数,则都是f(x)在因为F(x)及[a,b]上的原函数,故有C是待定常数,即有三、牛顿—莱布尼茨公式4.2微积分基本公式26牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式微积分基本公式特别,4.2微积分基本公式27微积分基本公式表明注求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.仍成立.4.2微积分基本公式28例原式解面积例解平面图形的面积.所围成的4.2微积分基本公式29例解注如被积函数是分段函数,再用牛—莱公式.积分,应分段分成几个4.2微积分基本公式30例

8、解由图形可知4.2微积分基本公式所以31练习解4.2微积分基本公式32例解如被积函数有绝对值,