谓词逻辑的基本概念

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1、第二章谓词逻辑第一讲原因是三个原子命题不能把第1个命题和第2命题的共同属性“人”表示出来。苏格拉底是人，所有“人”具有的共同属性“死亡”他也应该有，但在命题逻辑中无法实现。这就是命题逻辑的局限性。为了解决这个问题需要引入谓词逻辑的有关概念。2．1谓词逻辑的基本概念2．1．1谓词及其表示命题是一个有唯一真值的陈述句。陈述句主要由主语、谓语、宾语和补语组成。其中主语、谓语是句子的主要成份。主语是谓语描述的对象，称为个体或客体。谓语用于描述主语的性质和关系，是陈述句的主体部分。定义2-1可以独立存在的人、物、事称为个体或客体。定义2-2在谓词逻辑中

2、，刻划个体性质和关系的谓语称为谓词。例2-1：张三是大学生。李四是大学生。我们用大写字母S表示“是大学生”，用小写字母a、b分别表示“张三”和“李四”。上述两个命题可表示为：S（a）：张三是大学生。S（b）：李四是大学生。谓词可分为一元谓词和多元谓词。在命题中若谓词只联系一个客体，则称之为一元谓词。一元谓词表示客体的属性。若谓词联系着n个客体，则称之为n元谓词。多元谓词表示客体之间的联系。例2-2冰比水密度小。4大于3解：用D表示　．．．比．．．密度小，G表示．．．大于．．．，则上述谓词命题可以表示为：D（冰,水）和G（4,3）。不难发现，在

3、多元谓词中，个体在谓词中出现的次序不是任意的，它将直接影响谓词命题的真值。在多元谓词公式中，个体在谓词公式出现的次序一旦约定就不能更改。如果更改便变成不同的命题，其真值也发生变化。如上例中改为D（水，冰）和G（3，4），变成命题“水比冰密度小”和“3大于4”，其真值都为假。2．1．２常元与变元在谓词逻辑中，表示特定个体的词称为个体常元。个体常元可以是代表个体的标识符，也可以直接引用个体的名称。如上述例2-1中a代表“张三”，b代表“李四”；在例2-２中直接使用个体的名称，如“水”、“冰”、“３”、“４”等。在谓词逻辑中，用来表示未知或泛指的个

4、体的词称为个体变元。其标识符常用小写字母x，y，z．．．表示。例如用Ｐ(x)表示x是素数，Q(x)表示x是有理数。Ｐ(x)和Q(x)不是命题，只有用具体的个体取代其中的个体变元后才是命题，才有真值。2．2命题函数及量化2．2．1命题函数单独的谓词不是命题，在谓词后面的括号中填上代表个体的标识符所得的式子称为谓词填式。如果在谓词填式的括号中填入的是个体常元，则该谓词填式是一个命题。在谓词填式的括号中填入的是个体变元，则称该谓词填式为命题函数。定义2-3由一个谓词和一些个体变元组成的表达式称为原子命题函数。用逻辑联结词把一个或多个原子命题函数连接

5、而成的表达式称为复合命题函数。如上述所举例子中S（x）、D（x,y）、G（x,y）都是简单命题函数，其中x、y为个体变元。把不含个体变元的命题函数称为0元谓词。例如，上述的D（冰,水）和G（4，3）等都是0元谓词，0元谓词本身就是命题。命题逻辑中的原子命题都可以用0元谓词表示，因此，可以将命题逻辑看成是谓词逻辑的特殊情况。值得注意的是，在谓词演算中逻辑联结词的含义与命题演算中完全相同，且命题演算中的公式在谓词演算中完全适用。例2-3将下列命题符号化：（1）存在既是素数又是偶数的数。解：令：F(x):x是素数；G(x):x是偶数；则命题符号化为

6、：F(x)∧G(x)。（2）只有努力学习才能取得好成绩。解：令：G(x):x想取得好成绩；H(x):x努力学习；则命题符号化为：（3）在实数域中，若x比y大，y比大z，则x比z大。解：设x、y、z是实数。令：P(x,y):x比y大。则命题符号化为：P(x,y)∧P(y,z)→P(x,z)定义2-4个体变元的论述范围称为个体域（或论域）。各种个体域综合在一起作为论述范围称为全总个体域。个体域和全总个体域是相对的，它根据你讨论的问题而定，同时它可以是有限的，也可以是无限的。2．2．2个体域2．2．3量化用具体个体的名称取代个体变元，使命题函数成为

7、命题的过程称为代换，通过代换而得到的命题称为命题函数的代换实例。由代换实例得到的命题是个别命题。除代换外，我们还可以采用量化的办法来确定命题，采用量化确定的命题是一个命题集合。所谓量化是指出个体变元在个体域中的取值方式。在谓词逻辑中，个体域中个体变元的取值方式常用的有以下两种：1.全称量词如果命题函数个体变元在个体域中的取值方式是考虑论域中的所有个体，则这种量化称为全称量化。如日常语言中的“所有的”、“任意的”、“每一个”等词。我们把“所有的”的英语短语“ForAll”中的“All”的第一个字母“A”倒写为“∀”作为全称量词符号。“∀x”表示

8、个体域中的所有个体，其中的“x”称为指导变元。例如，“∀xP(x)”就表示个体域中的所有个体都具有性质P。例如：设论域为人类H(x)：表示x是要呼吸的。则∀xH(x