从“费马点”说起

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1、从“费马点”说起应立君（余姚市实验学校）前言解题题海战术通性通法过程与结果内化一、走近费马点1．（浙教版数学八下P82）设计题你听说过费马点吗？如图4—11，P为△ABC所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。请按下列步骤对费马点进行探究：（1）查找有关资料，了解费马点被发现的历

2、史背景；（2）在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC是等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？（3）把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文。2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.求证：′过的费马点，且′=.3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题：(1)阅读理解：①如图(1)，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马

3、点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．②如图(2)，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD，此为托勒密定理．(2)知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图(3)，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120度)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图(4)在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在弧BC上任取一点，连结、、、易知;第三步：请你根据(1)①中定义，在图(4)中找出△ABC

4、的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离(3)知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B,C构成了如图(5)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120o)，现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．4．（2008年广东省中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。5．（2009年天津市竞赛题）已知点P是锐角三角形ABC内的一

5、个点，且使PA+PB+PC最小。试确定点P的位置，并证明你的结论。6．(2011年北京市竞赛题)如图，矩形ABCD是一个长为1000m，宽为600m的货场，A、D是入口。现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP及HP之长度和为。（1）求的最小值；（2）请指出当取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置。二、探究费马点1．来历：费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？”写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。2．结论：三角形的费马点：平面上，到一个已知三角形三

6、个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点．（1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120°；（2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点．3．证明．求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决．1）当三角形的最大内角小于120°的情形．已知：如图1，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．设平面内有一点．求证：PA+PB+PC≤．证明：如图2，分别以AP、AC为边作正三角形，连结，得△APC≌△，易知在同一直

7、线上，PA+PB+PC=≤．2）当三角形的最大内角不小于120°的情形．4．如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）．分别以BC、AC为边向外作正三角形，连结，交点即为所求费马点P。（连结PC，先证明△≌△，得∠PAC=∠，所以四点共圆，得∠APC=120°，同理∠BPC=120°）5．应用举例（思考：特殊三角形的费马点性质）．题1~6见前7．(2009年北京市中考题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别为，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF