《晶体化学群论》PPT课件

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1、群论及其在晶体学中的应用赵录5081109025群论的产生与发展群的概念形成于十九世纪初。群论的早期发展伴随着代数方程根式解的研究并最终彻底解决了这个困扰全世界数学家的难题。群论的创立，就像解析几何和微积分的创立一样，闪耀着人类智慧的光芒。二十世纪初，以量子力学与相对论的创立为标志，物理学跨进了近代物理新时期。此后，群论一直是研究微观体系粒子运动的强有力的工具，在理论与实验研究中取得了令人惊叹的成果，吸引着越来越多的包括物理学家和化学家在内的科学工作者学习它，应用它。群论的产生与发展E.P.Wigner最早应用群论研

2、究原子结构和原子光谱，是将群论应用于物理学的先导，他犹豫对原子核和基本粒子的研究，特别是通过发现和应用基本对称性原来而作出的贡献，荣获了1963年诺贝尔物理学奖。1981年诺贝尔化学奖授予了著名化学家R。Hoffmann和福井谦一，以表彰他们建立和发展“轨道对称和守恒性原理”的功绩化学家Bell：无论在什么地方，只要能应用群论，立即从一切纷乱混淆中结晶出简捷与和谐。目前，群论已广泛应用于物理，化学，结晶学以及许多技术学科中。群的定义如果在元素集合G上定义一个结合法,称为乘法,G中的任意两个元素a和b的乘积记为ab,且

3、满足以下4个条件,则称G为一个群.①封闭性条件:若a和b为G中的任意两个元素,元素a和b的乘积c=ab亦是G中的一个元素。②结合律条件:对于G中的任意三个元素a、b和c,恒有(ab)c=a(bc).③恒等元条件:G有恒等元,记为e.对于G中的任意一个元素a,恒有ea=ae=a.④逆元条件:G中的任意一个元素a均有一个对应元素b,称为a的逆元,可使ba=ab=e.若G群的元素数目为有限,则称G为有限群,有限群G的元素数目称为群阶(h).反之则称G为无限群.由上述群的定义,可以证明:①群G的恒等元e是唯一的;②群G中的任

4、意一个元素a的逆元是唯一的,记作a-1.定理1:设G为一有限群,其元素为a1(e),a2,a3,……,an……(1)如果ak是群G中的一个任意元素,则G的每一个元素在序列eak,a2ak,a3ak,……,anak……(2)中出现一次,且只出现一次;同理,G的每一个元素在序列ake,aka2,aka3,…….,akan……(3)中出现一次,且只出现一次.交换群(Abel群):如果对于群G中的任意两个元素a和b,恒有ab=ba,则称群G为交换群.群元素a的n次方:设a为G群中的一个任意元素,定义a的n次方an为an=aa

5、a……a(n个a的乘积).定理2:设a,b和c为群G中的任意三个元素,则群元素的周期(阶):设a为G群中的一个任意元素,能使an=e的最小正整数n称为a的周期或阶.若此n不存在,则a称的周期为无限.子群:若群G的子集H对于G的乘法亦作成一个群,则称H为群G的子群.任何群G至少有两个子群,一是群G的本身,二是仅由e构成的子集{e},这两个子群称为群G的平凡子群.定理3:群G的非空子集H是子群的充要条件为①若a和b为H中的任意两个元素,则乘积ab亦属于H(abH);②如果a属于H,则a的逆元a-1亦属于H(a-1H)

6、.(证明从略)定理4:群G的非空有限子集H是子群的充分必要条件为H中的元素对于群G的乘法满足封闭性条件.定理5:若群G是有限群,则群G的子群H的阶一定是群G的阶的因子.定理6:有限群G中的任意一个元素a的阶均为群G阶的因子.晶体性质晶体是原子(包括离子，原子团)在三维空间中周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同性质：均匀性;各向异性;自范性;4.对称性;5.稳定性。晶体点阵与晶体对称性在每个重复周期都选取一个代表点，就可以用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。而平移对称性是晶体最为基本的对称性。整个点阵沿平移矢量

7、t=ua+vb+wc(u、v，w为任意整数)平移，得到的新空间点阵与平移前一样，称沿矢量t的平移为平移对称操作。晶体点阵与晶体对称性点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量a，b和c作为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如下：此平行六面体称为晶胞。晶胞如上确定的六面体称为晶胞，由矢量a，b和c确定的方向称为晶体学的晶轴X，Y，Z。如果晶胞中只包含一个阵点，则

8、这种晶胞被称为初基的(primitive)。晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个边的长度a，b，c三个边之间的夹角a，b，g表示。晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。一般写作：晶体结构=点阵+结构基元点阵、结构和单胞点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子)