《有限元素法》PPT课件

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1、计算机在材料中的应用主讲教师武建军第四章有限元素法数值方法的本质就是把计算域内有限位置（节点）上的因变量值当作基本未知量来处理，任务是提供一组关于这些未知量的代数方程并规定求解这些方程的算法。有限元法是以变分原理为基础吸取差分格式的思想而发展起来的一种有效的数值解法。有限元素法（FEM）是求解微分方程的一个常用数值解法。FEM的应用领域50年代，有限元法首先从结构力学中得到应用，而后推广到流体力学、热传导等领域,现在已被广泛用于物理和工程设计计算的很多领域。该方法逐渐成为求解许多数学物理方程边值问题的高效能的方法。1FEM的基本思想及其特点利用FEM方法求解问题包括单元划分、假定单元

2、分布函数、列出单元方程、联立求解等几个步骤。例如解决一个超静定梁的问题，每一个杆件就可以作为一个单元来处理,可以列出自己的载荷与位移的关系方程(单元方程),然后联立求解。1-2FEM的基本思想-里兹法用插值（或其它）方法用节点处的函数值构建单元分布函数；将代入原来的微分方程，将得到有关节点变量值的代数方程组。求解代数方程组，获得节点函数值。离散化方程仍受未知函数的微分方程支配。单元划分的意义在整个计算域内寻找试探函数不太容易。如果将计算域划分成一定数量的单元，单元分布函数容易建立。因为选取分段分布的结果，一定的离散方程只与少数几个节点有关。一方面分布函数容易构造，而且也容易求解

3、。分布函数的随意性由于分布假设以及推导方法的不同，一个微分方程的离散化方程不是惟一的。因为只需要满足本质性边界条件，而不必考虑自然边界条件（第二、第三类边界条件自动满足），试探函数的选取是比较容易的。试探函数阶次提高，解的精度也提高。当网格特别细密时，相邻节点之间的变化就很小，因此单元内分布假设的实际细节变得不再重要。离散化方程的解将趋近于相应微分方程的精确解。单元形状单元的形状没有限制。例如椭圆孔应力集中集中问题，图中将它划分为三角形网络。把原来的连续体简化为由有限个三角形单元组成的离散体。其中三角形单元之间只在节点处用铰链相连，把载荷按照静力等效原则也转移到节点处。1-2FEM

4、的特点物理概念清晰，特别是对于力学问题。灵活性与通用性。由于单元形状灵活，易于处理复杂区域、复杂边界条件。而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比有限元法好。有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。FEM的特点有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数来描述它的物理特性。有限元素方法是基于虚功原理,或者说是变分原理。它不象差分法那样直接去解场方程,而是求解一个虚功取极小值的变分问题。FEM是解决复杂区域、边界条件数学物理方程边值问题的一种比较完美的离散化方法。本章

5、提要有限元素法的原理概要举例说明如何运用有限元素法弹性力学平面问题热传导问题比较有限元素法和有限差分法。2弹性力学基础知识弹性力学研究宏观均匀、各向同性固体的弹性变形，例如刃型位错应力场计算。严格地说，任何弹性体总是处在空间应力状态，因而实际问题都是三维空间问题。但是，有些弹性力学问题可以简化为平面问题。平面应力问题例如平面薄板的拉伸变形问题，由于厚度很小，而载荷又平行板面且沿厚度方向均匀分布，因此可以近似认为沿厚度方向的应力分量等于零。平面应变问题水库大坝的长度比高度和宽度要大得多，而载荷又都与横断面平行且沿长度方向均匀分布，可以认为沿长度方向的应变分量等于零，这种问题称平面应变问

6、题。2-1变形参数单元体弹性变形参数包括位移沿x,y,z轴的三个分量u,v,w力或载荷沿x,y,z轴的三个分量X,Y,Z应变ij（作用面垂直于i轴，指向j方向）i,j=x,y,z应力ij(规定同应变)一般规定当i=j,ij为正应变,表示线段伸长或缩短,可简化为i，如x。一般规定，伸长应变为正值。i≠j，ij表示切应变（角应变），表示两线段之间夹角的变化。一般规定，直角变成锐角切应变大于零。应变分量有9个,一般有6个独立分量。应力分量与应变分量类似，也有9个。2-2几何方程2-3广义虎克定律广义虎克定律拉梅方程的其它形式广义虎克定律平面应力问题的虎克定律平面应变问题的虎克定

7、律2-4力学平衡方程应力与体积力，如重力之间的平衡其中fi分别是体积力在i方向上的分量。力学平衡方程应力与表面力之间的平衡式中X、Y、Z是表面力的三个分量，l,m,n是表面外法线的方向余弦。3变分方法与虚功原理有限元法建立离散方程的方法有三类。直接法例如，超静定桁架问题，每个组件就是一个元素。易于理解,但只能用于较简单的问题，实际用途不大。变分法把有限元法归结为求泛函的极值问题。使有限元法建立在更加坚实的数学基础上,扩大了有限元法的应用范围。加权余量法直接