示例2 测量山高问题

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1、示例2测量山高问题小明站在一个小山丘上，想要测量这个山丘的高度。他站在山边，采取了最原始的方法：从小山丘向下丢了一小石子，5s后他听到了从小山丘下传来的回音。请各位尝试建立数学模型估计小山丘的高度。【解题思路】数学建模的初学者一看到这个问题也许会认为数学建模并不是一件困难的事情，因为很多学生在高中时就遇到过这个问题。确实是这样！这是一个比较简单的实际问题（数学建模问题），大家很容易得到：运用自由落体公式，可以计算出山的高度。也许有人会提出疑问：上述运算是数学建模吗，这样数学建模不是很简单吗？是的，可以认为这样的运算过程就是

2、数学建模。虽然上述理想的自由落体模型可以计算出山的高度，但计算所得到的结果可能存在较大的误差。122.5m这个答案在高中考试中应该是一个标准答案，不会认为这个答案是错误的。但是测量队在测量山高时绝对不会采用上述计算得到的结果。那么在这个问题中我们还需要考虑哪些因素？例如人的反应时间，在现实中这是一个需要考虑的因素。通过查找资料（查阅资料在数学建模中极其重要，也是现代大学生必须具备的基本素质），可以知道人的反应时间约为0.1s左右，那么计算式子在结果上能够得到改善：数学建模竞赛是一种开放性的比赛，竞赛过程中允许查找相关资料来

3、帮助求解。通过上面的分析可以发现117.649m比122.5m更加接近实际情况。相比理想的自由落体模型，以上的数学建模过程可以称为修正的自由落体模型。一个优秀的队伍往往能够做得更多！在考虑人的反应时间这一因素后，还有没有其他因素需要考虑，例如空气阻力？各位有了这样的思维外，还拥有微积分这一解题工具。通过查阅相关资料，可以发现石头所受空气阻力和速度成正比，阻力系数与质量之比为0.2。由此我们又可以建立以下微分方程模型：解微分方程得：积分得：算法1：%实现微分方程求解symsgmkdsolve('Dv=g-k*v/m','t'

4、)算法2：int('9.8/0.2*(1-exp(-0.2*t))',0,4.9)通过以上计算可以发现，计算结果得到了很大改善，理想自由落体模型计算方法等到的山高122.5m的确存在着较大的误差。如果用心，大家可以做的更好。在实际生活中，回音传播时间是另一个不可忽略的因素。因此我们在上述模型的基础上引入回音传播时间，对模型进行如下修改：得：在这个例题中，先后呈现了四种不同的解题方法，也可以说四种不同的数学模型。希望大家能够通过这个例子体会到数学模型的真谛：能够解决问题的方法就是数学模型，其本身没有对错之分，以上四种模型计算

5、得到的答案应该说都是正确的，但是其本身有优劣之分，问题在于思考的角度。它是一种新的思维方法，从上面的例子可以得到，数学模型往往是以下两个方面的权衡：1.数学建模是用以解决实际问题的，所建立的模型不能太理想、太简单，过于理想化的模型往往脱离实际情况，这就违背了建模的目的；2.数学建模必须是以能够求解为前提的，建立的模型一定要能够求出解，所建立的模型不能过于实际，过于实际的模型往往难以求解，因此作适当的简化假设是十分重要的。