《条件极值北工大》PPT课件

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1、一、条件极值与拉格朗日乘数法二、例第五节条件极值1.定义求函数在满足函数方程组（限制条件）的所有点的极值，就是条件极值。函数方程组（1）称为联系方程组。一、条件极值与拉格朗日乘数法2.问题讨论四元函数(2)满足联系方程组(限制条件)(3)条件下取极值的必要条件.即若点是这个条件极值的极值点,其坐标应满足什么样的方程?设函数所有偏导数在点的某邻域连续，且矩阵的秩为2，不妨设函数行列式所以方程组(3)满足方程组确定的隐函数定理的条件，则存在点的邻域隐函数组使（4）（5），在存在唯一一组有连续偏导数的若是极值点，则的坐标必满足方程(4).将(4)

2、式代入函数　　　　　　　之中,化为　　　的二元函数,设若点是条件极值的极值点，则点必是函数的稳定点。根据多元函数极值的必要条件，点（6）由（6）式可得满足方程组（7）再对（5）式分别关于求偏导数，有（8）（9）从方程组(8)(9)解出并将其代入方程(7)，可以得到点必满足的方程。即选择适当的常数分别乘方程(8)两个方程，即加减消去法将它们与方程组（7）的第一个方程等号两端分别相加，有用同样的方法去乘方程组（9），与（7）的第二个方程两端相加，有为了消去偏导数令（10）从而有（11）方程组转化为方程组(10)(11).若点是极值点，则其坐标和

3、必须满足六个方程常数3.定理1设函数的所有偏导数在点的某邻域G连续，且矩阵的秩为2，若点是函数满足联系方程组的极值点，则存在常数与与和点的四个必同时满足下列方程组：（共六个方程）坐标此定理可以推广多个函数的情况.一般情况下求条件极值的步骤如下:引进辅助函数令函数关于的偏导数为0，即（定理的六个方程）求函数在满足联系方，程组的普通的极值问题转化为求辅助函数极值，称为拉格朗日乘数法。例1求三维欧氏空间的一点到平面的距离.例2设n个正数之和　　　　　之和是,求函数　　　　　　　的最大值．练习将正数12分成三个正数之和使得　　　　　为最大．解令,则

4、由(1)，(2)得由(1)，(3)得将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值即，得唯一驻点例3抛物面被平面截成一个椭圆.求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离.例4求在条件下的极值.