傅立叶变换new

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1、积分变换引言在数学中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用变换的方法．例如数量的乘积和商可以通过对数变换化为加法和减法．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一．工程数学---------积分变换所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类B中的函数这里是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核．称为的像函数或简称为像，称为的原函数．这里介

2、绍傅里叶变换和拉普拉斯变换.工程数学---------积分变换第一章Fourier变换§1.1Fourier积分1.Fourier级数三角形式工程数学---------积分变换其中复数形式或工程数学---------积分变换若f(t)在(-,+)上满足条件:(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件，(2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有即f(t)连续或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点；2.Fourier积分工程数学---------积分变换例1.证明证:工程数学-------

3、--积分变换工程数学---------积分变换工程数学---------积分变换§1.2Fourier变换1.Fourier变换叫做的傅氏变换,象函数;叫做的傅氏逆变换,象原函数.记作工程数学---------积分变换例1.求函数解:的Fourier变换和Fourier积分表达式.工程数学---------积分变换工程数学---------积分变换于是工程数学---------积分变换2.Fourier变换的物理意义—频谱称为的频谱函数,可以证明,频谱为偶函数,即其模称为的振幅频谱.工程数学-------

4、--积分变换例2.作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图.单个矩形脉冲的频谱函数为:解：工程数学---------积分变换3.单位脉冲函数及其Fourier变换引例1.解：工程数学---------积分变换即工程数学---------积分变换引例2.解：设在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t=0)确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电量函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即进入一个单位电量的脉冲，工程数学---------积分变换工程数学---------积分变换Dirac函数(δ

5、函数)如果函数δ(t)满足那么称函数δ(t)为单位脉冲函数.定义1：工程数学---------积分变换定义2：称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t).工程数学---------积分变换性质一般地，工程数学---------积分变换(3)其中,称为单位阶跃函数.工程数学---------积分变换Fourier变换即所以有工程数学---------积分变换工程数学---------积分变换例3.的Fourier变换为证明单位阶跃函数证：工程数学---------积分变换工程数学---------积分变换

6、例4.解：同理工程数学---------积分变换例6.解：工程数学---------积分变换§1.3Fourier变换的性质1.线性性质2.位移性质工程数学---------积分变换证：工程数学---------积分变换若，则4.相似性质若，则3.对称性质工程数学---------积分变换5.微分性质证：工程数学---------积分变换推论同样工程数学---------积分变换6.积分性质证：工程数学---------积分变换7.乘积定理证：工程数学---------积分变换同理工程数学--------

7、-积分变换8.能量积分(Parseval等式)证：工程数学---------积分变换例1.解:工程数学---------积分变换例2.解:工程数学---------积分变换例3.解:工程数学---------积分变换例4.解:工程数学---------积分变换例5.解:工程数学---------积分变换例6.解:工程数学---------积分变换§1.4卷积定理1.卷积定义2.卷积性质工程数学---------积分变换例1.解:工程数学---------积分变换例2.解:工程数学---------积分变换

8、3.卷积定理证：工程数学---------积分变换4.卷积逆定理工程数学---------积分变换例3.解:工程数学---------积分变换例4.证:工程数学---------积分变换