工程力学精品课程-梁的变形

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1、第9章梁的变形与刚度设计DESIGNOFBEAMSFORBENDINGDEFLECTIONS一。弯曲变形概念OPyxθv受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移θ，称为转角挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是挠度v—截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；转角θ—横截面绕中性轴转过的角度，其正负号，逆时针为正，顺时针为负，在小变形情况下，有二。挠曲线的近似微分方程对梁，有：对平

2、面曲线，有关系式：由上两式可得：考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系M>0v''>0xyM<0v''<0xy可见，M与v‘’的符号相同，挠曲线的近似微分方程为：三。计算弯曲变形的积分法用直接积分法求梁的弯曲变形：弯矩方程是一个分段函数，设某段函数为Mi，则该段的微分方程是积分一次得再积分一次得如果M(x)是n段分段函数(i=1,2,...,n)，则要决定2n个积分常数，它们可以通过下列条件决定：1.边界条件：指梁的约束条件，一根静定梁有2个约束条件；(1)固定端截面：挠度和转角均为0；(2)铰链约束：挠度为0；2.光滑连续性条件：挠曲线的任意点上的

3、挠度和转角是唯一的，n段分段函数有(n-1)个分段点，在分段点上有：θj=θj+1，vj=vj+1(j=1,2,…,n-1)，共有2(n-1)个条件；而不会出现挠度和转角不等情况。在工程计算中，习惯上用f来表示梁在指定截面处的挠度。例9-1求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。RABARBPCablyxx解使用积分法求转角和挠度。求约束反力。取梁AB作为研究对象，加上约束力RA和RB，然后使用平衡方程(b)求弯矩方程。因AC、CB两段弯矩方程不同，分别写出弯矩方程CB段AC段(c)列挠曲线微分方程并二次积分。CB段AC段(d)决

4、定积分常数。利用支座A、B处边界条件和左、右两段梁连接处C的光滑连续性条件代入上述转角和挠度方程，确定积分常数(1)光滑连续性条件(2)边界条件:(e)结果（转角和挠度方程）。AC段CB段(f)求指定截面的弯曲变形。要决定最大挠度，令：在a>b时，最大挠度发生在AC段，可求得则最大挠度为四。计算弯曲变形的叠加法在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和（代数和或矢量和）。这就是叠加原理。例9-2用叠加法求图示外伸梁的θC和vC，梁的抗弯刚度是EI。aBACaqaM=qa2P=qa解使用叠加积分法求转角和挠度。(a

5、)将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)(b)而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)’BACaqaaqa(32)’BACaaaqa2/2(c)应用挠度表确定三种下，梁c点处的转角和挠度。查表：而对第三种情形下二种载荷单独作用下，应用叠加法进行叠加。(d)应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。五。梁的刚度条件与合理刚度设计1.梁的刚度条件指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即弯曲

6、构件的刚度条件。2刚度的合理设计对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。BAP=3.5kNC500500q=1.035kNm例9-3。简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130mm，定子与转子的许用间隙δ=0.35mm；校核轴的刚度。解(a)用叠加法求梁的最大挠度(b)刚度校核轴的刚度足够。3提高梁的弯曲刚度的措施由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提

7、高梁的刚度，可采用如下一些措施：1）.选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；2）.调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；3）.减小梁的跨度；增加支承约束；其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和转角的。六。简单静不定梁求解简单静不定梁。首先，根据静不定次数选取静不定梁的基本结构。解除多余约束(个数与静不定次数相同)，用多余约束力来代替，得到静不定梁的基本结构CBAPCBAPRC其次，找出变形几何关系，即多余约束处梁的变形应满足的条件，求出多余约束处的变形，由此得到

8、补充方程，联立求解补充方程和平衡方程，得出所有约束力，lCl/2BDA例9-4。图示杆系中，A