真值表、公式分类、命题定律、代入置换

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1、符号化、公式分类命题定律、代入置换授课教师：程文刚wgcheng@ncepu.edu.cn复习引论：离散数学、数理逻辑命题联结词复习题：本命题是假的。我不给所有自己给自己理发的人理发，但是却会给所有自己不给自己理发的人理发。本节内容命题符号化命题分类与命题变元命题原子命题：不包含任何联结词的命题复合命题：至少包含一个联结词的命题命题变元一个不确定的泛指的任意命题定义：以真(1)、假(0)为其变域的变元注意：命题变元不是命题，只有用一个特定的命题取代才能确定它的真值：真或假（对该命题变元指派真值）命题公式含有命题变元的断言称为命题公式

2、注意：不是所有由命题变元、联结词和括号所组成的字符串都能成为命题公式。合式公式原子公式定义：单个命题变元和命题常元称为原子命题公式，简称原子公式。合式公式合式公式是由下列规则生成的公式：①单个原子公式是合式公式。②若A是一个合式公式，则(lA)也是一个合式公式。③若A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(AB)都是合式公式。④只有有限次使用①、②和③生成的公式才是合式公式。合式公式(Cont.)例：下列符号串是否为命题公式。（1）P→(Q∧PR）；（2）（P∨Q）→（¬（Q∧R））合式公式(Cont.)当合式公式比

3、较复杂时，常常使用很多圆括号，为了减少圆括号的使用量，可作以下约定：①优先级由高到低的次序为：l、∧、∨、→、②相同的联结词按从左至右次序计算时，圆括号可省略。③最外层的圆括号可以省略。合式公式(Cont.)例子¬P∨¬P∨Q∧¬S∨¬Q∧R与(((¬(P)∨¬(P))∨(Q∧¬(S))∨(¬(Q)∧R))运算顺序完全一样,前者不加一个括号.请大家特别注意先∧后∨的习惯.命题符号化有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式命题的符号化把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结词和圆括

4、号表示的合式公式，称为命题的符号化。符号化应注意以下几点：①确定句子是否为命题.不是就不必翻译.②确定句中连接词是否能对应于并且对应于哪一个命题连接词.③正确表示原子命题和选择命题连接词.④要按逻辑关系翻译而不能凭字面翻译.命题的符号化(Cont.)例：试以符号形式写出命题:我们要做到身体好,学习好,工作好,为祖国四化建设而奋斗.解:A:我们要做到身体好B:我们要做到学习好C:我们要做到工作好P:我们要为祖国四化建设而奋斗故命题可以表示为:命题的符号化(Cont.)张三和李四同在做作业P:张三做作业Q:李四做作业可译为P∧Q;张三和李

5、四是兄弟命题的符号化(Cont.)“这盆花盛开，促使那些蜜蜂来采蜜”不可以符号化,为什么呢？因为连接词‘促使’不是命题连接词.根据是由它构成的复合命题的真值不能完全由构成它的原子命题的真值来确定.例如令P:这盆花盛开,值为1，Q:那些蜜蜂来采蜜,其值为1,则‘这盆花盛开促使那些蜜蜂来采蜜’值为1.又令P:海水是咸的,其值为1,Q:那些蜜蜂来采蜜值为1,则‘海水是咸的促使那些蜜蜂来采蜜’值为0.由此可见,两组原命题都为真,但由‘促使’构成的复合命题的值一为真一为假,这不符合定义.注意自然语言中的一些联结词,如与”,“且”,“或”,“除非

6、…则…”等等都各有其具体含义,需分别不同情况翻译成合适的逻辑联结词.有时可以采用真值表的方式,来寻找合适的逻辑联结词练习题派小王或小李出差；我们不能既划船又跑步；如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定；如果李明是体育爱好者，但不是文艺爱好者，那么李明不是文体爱好者；假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里看书。辱骂和恐吓决不是战斗除非天气好，否则我是不会去公园的几个例子‘除非你努力，否则你将失败’可以符号化为：¬P→Q,其中P:你努力，Q:你将失败.‘只有睡好觉才能恢复疲劳’可以符号化为：Q→P,其中P:睡好觉，Q:恢复疲劳.(

7、Q是P的必要条件)公式真值表真值指派为含有命题变元P1，P2，…,Pn的命题公式，对P1，P2，…,Pn分别指定一个真值，称为对公式的一组真值指派。在公式中，对于命题变元指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表公式真值表构造方法：（1）找出公式中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…,Pn。（2）列出的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进制递加顺序依次写出各赋值，直到11…1为止（或从11…1开始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0为止），然后从低到高的顺序

8、列出的层次。（3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出的真值。公式真值表(Cont.)例1：构造PQ的真值表例2：构造¬P∨Q的真值表公式分类定义：设A为任意公式，则①对应每一个指派，公式A均相应确定真值为真，称