矩阵分块矩阵及其运算

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1、第一章矩阵§3分块矩阵§3分块矩阵及其运算在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块法，将大矩阵的运算化成一些小矩阵的运算。一.基本概念第一章矩阵§3分块矩阵10012010450017632100654001001201045001763210065400=E3BCO2分块矩阵(partitionedmatrix)对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子块为

2、元素所构成的矩阵称为分块矩阵。第一章矩阵§3分块矩阵A=[A1,A2,…,An].二.常用的分块法1.A=a11a21am1a12a22am2………a1na2namn…………,A1=,a11a21am1…An=,a1na2namn…A2=,a12a22am2…第一章矩阵§3分块矩阵1=[a11,a12,…,a1n],12…mA=.2.a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amnA=2=[a21,a22,…,a2n],m=[am1,am2,…,amn],…矩阵的分块可以是任意的，具体分块方

3、法的选取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。第一章矩阵§3分块矩阵A=A1O…OOA2…O…………OO…As,称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中A1,A2,…,As都是方阵.2.分块对角矩阵(semi-diagonalmatrix)例如2100002100002000001200034.三.基本运算分块加法设矩阵A与矩阵B的行数和列数，且采用相同的分块法，则A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,B=B11B12…B1rB21B22…B2r…………Bs1Bs2…Bsr,A11+B1

4、1A12+B12…A1r+B1rA21+B21A22+B22…A2r+B2r…………As1+Bs1As2+Bs2…Asr+Bsr.A+B=分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。设矩阵A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,为常数.A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr.则A=2.分块数乘第一章矩阵§3分块矩阵3.分块乘法设A为ml矩阵,B为ln矩阵,将它们分块如下A=A11A12…A1tA21A22…A2t…………As1As2…

5、Ast,B=B11B12…B1rB21B22…B2r…………Bt1Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列数分别与B1j,B2j,…,Btj的行数相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11C12…C1rC21C22…C2r…………Cs1Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1t第一章矩阵§3分块矩阵注:(1)分块矩阵的乘法即将A、B的每个子块当作矩阵的元素，按矩阵乘法的运算规则计算；(2)为了使乘法可行，要求A的列的划分与B的行的划分完全一致，以保证分块矩阵可乘，且各子块间的乘法也可

6、行；(3)A的行的划分与B的列的划分没有限制。假设A、B可以相乘，那么8所以设矩阵A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,A11TA21T…As1TA12TA22T…As2T…………A1rTA2rT…AsrT.则AT=4.分块转置第一章矩阵§3分块矩阵即分块矩阵转置时，即要把整个分块矩阵转置，又要把其中每一个子块转置。例如Q=[q1,q2,…,qn],第一章矩阵§3分块矩阵…,其中q1=,q11q21qn1…qn=,q1nq2nqnn…q2=,q12q22qn2…QT=,q1Tq2TqnT

7、…QTQ=q1Tq2TqnT…[q1,q2,…,qn].=第一章矩阵§3分块矩阵QTQ=q1Tq2TqnT…[q1,q2,…,qn]………q1Tq1q1Tq2q1Tqn…q2Tq1q2Tq2q2Tqn…qnTq1qnTq2qnTqn…5.准对角阵(分块对角阵)准对角矩阵的性质：解，使AX=E所以，A可逆，且A-1=X。例利用上例结论求方阵解计算得：于是