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1、第7章矩阵特征值与特征向量的计算引言乘幂法反幂法17.1引言定义：对于n阶方阵A，数λ0，若存在非零列向量x，使得Ax=λ0x，则称λ0为A的特征值（特征根），x为A的属于λ0的特征向量。定义：以λ为未知量的方程
2、A-λE
3、=0称为方阵A的特征方程，λ的多项式
4、A-λ0E
5、称为方阵A的特征多项式，记为f(λ)。λ0是为方阵A的特征值，x为A的属于λ0的特征向量的充要条件是：λ0是A的特征方程
6、A-λE
7、=0的根，x是齐次线性方程组(A-λ0E)X=0的非零解向量。因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量：⒈计算A的特征多项式
8、A-λE
9、；⒉求出A的特征方程
10、A-λE
11、=0的全部根，这
12、是A的全部特征值；⒊对A的每一个特征值λi，求出(A-λiE)X=0的一个基础解系x1,x2,……,xs，并写成列向量的形式，这就是A的属于λi的一组线性无关的特征向量。那么的属于λi的全部特征向量为：k1x1＋k2x2＋……＋ksxs其中k1,k2,……,ks是不全为零的常数。对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。27.2乘幂法一、乘幂法的基本思想有些实际问题不需要求出全部特征值，只需要求出按模最大特征值和按模最小特征值。乘幂法用来求按模最大特征值和与它对应的特征向量。按模最大特征值又称为主特征
13、值，是指绝对值最大的特征值。乘幂法的特点是算法简单，易于在计算机上实现，特别适用于高阶稀疏方阵。乘幂法的收敛情况与特征值的分布有关。设n阶方阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn，主特征值为λ1且满足
14、λ1
15、＞
16、λ2
17、≥
18、λ3
19、≥……≥
20、λn
21、，对应的特征向量为x1,x2,……,xn且线性无关，那么用乘幂法求n阶方阵A的主特征值λ1和属于λ1的特征向量x1的步骤为：任取n维非零向量v(0)=(v1(0),v2(0),v3(0),……,vn(0))T作为初始向量，反复计算：v(k)=Av(k-1)，向量(v1(k)/v1(k-1),v2(k)/v2(k-1),v3(k)/v3(k-1),……,
22、vn(k)/vn(k-1))T记为u(k-1)，k=1,2,3,……。当k→∞时，向量u(k-1)的各分量都收敛于主特征值λ1，并且向量v(k)/λ1k收敛于向量a1x1，式中a1为非零常数。当k足够大时，取u(k)的任一分量作为主特征值λ1的近似值，v(k)近似地作为属于λ1的特征向量。乘幂法是线性收敛的，收敛速度主要由
23、λ2/λ1
24、决定。
25、λ2/λ1
26、越小，收敛越快；如果
27、λ2/λ1
28、接近于1，那么收敛很慢。37.2乘幂法二、改进后的乘幂法在上述迭代过程中，如果
29、λ1
30、≠1且迭代次数过大，那么
31、λ1k
32、会成为很大的数或很小的数，计算v(k)≈λ1ka1x1时可能出现上溢出（数据的绝对值
33、比能表示的最大的数还大，导致出错）或下溢出（非零数据的绝对值比能表示的最小的正数还小，导致出错）。为了克服这一缺点，在每一轮迭代v(k)=Av(k-1)之后，对向量v(k)的长度归一化。向量长度的归一化是指把向量所有的分量都除以一个常数，使此向量中绝对值最大的分量为1。改进后的乘幂法在每一轮迭代后，都对迭代向量的长度归一化。与上述乘幂法类似，改进后的乘幂法求n阶方阵A的主特征值λ1及对应特征向量x1的步骤为：任取n维非零向量v(0)作为初始向量，反复计算：①u(k)=Av(k-1)，②若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，③令v(k)=u(k)
34、/m(k)，k=1,2,3,……。当k→∞时，m(k)→λ1，向量v(k)越来越接近于属于λ1的特征向量。因此当k足够大时，m(k)≈λ1，近似地认为向量v(k)是A的属于λ1的特征向量。47.2乘幂法三、改进后的乘幂法的算法输入方阵A的阶数n。输入A，初始迭代向量v[n]，最大迭代次数maxk，主特征值精度要求ε。求矩阵积U=AV①首次迭代令m1等于数组v[n]的绝对值最大的元素。数组v[n]各元素都除以m1，结果放入数组u[n]。for(k=1;k<=maxk;k++)m0=m1;②暂存迭代结果求矩阵积U=AV③再次迭代令m1等于数组v[n]的绝对值最大的元素。数组v[n]各元素都除以
35、m1，结果放入数组u[n]。
36、m1-m0
37、<εYNbreak;k<=maxkYN输出主特征值m1和对应特征向量v[n]。迭代次数已超过上限，异常退出。57.3反幂法一、反幂法的基本思想反幂法用来求可逆矩阵的按模最小特征值（即绝对值最小的特征值）和与它对应的特征向量。定理：若λ为n阶方阵A的特征值，x为A的属于λ的特征向量，则1/λ为A-1的特征值，x也是A-1的属于1/λ的特征向量。定理：n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件为
