量子力学——算符

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1、量子力学算符目录一、位置算符七、自旋算符1.1厄米算符7.1概论1.2（位置算符）本征值与本征函数7.2发展史1.3正则对易关系7.3自旋量子数二、动量算符7.3.1基本粒子的自旋2.1动量算符导引7.3.2亚原子粒子的自旋2.2（动量算符）本征值与本征函数7.3.3原子和分子的自旋2.3厄米算符7.3.4自旋与统计2.4正则对易关系7.4自旋的方向三、角动量算符7.4.1自旋投影量子数与自旋多重态7.4.2自旋矢量3.1简介7.5自旋与磁矩3.2数学定义7.6量子力学中关于自旋的数学表示3.3角动量是厄米

2、算符7.6.1自旋算符3.4对易关系7.6.2自旋与泡利不相容原理3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系7.6.3自旋与旋转3.4.2角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系7.6.4自旋与洛伦兹变换3.4.3哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系7.6.5泡利矩阵和自旋算符3.4.4在经典力学里的对易关系7.6.6沿x,y和z轴的自旋测量3.5(角动量）本征值与本征函数7.6.7沿任意方向的自旋测量7.6.8自旋测量的相容性四、哈密顿算符7.6.9自旋1/2五、阶梯算符7.7应用六、创生及湮灭算符八、时间

3、演化算符2/52一、位置算符在量子力学里，位置算符(positionoperator)是一种算符，当作用于粒子的波函数，可以得到粒子的位置。给予一个粒子的波函数，这粒子的位置的期望值为目录1.1厄米算符1.2本征值与本征函数1.3正则对易关系返回目录3/521.1厄米算符由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量O的期望值是实值的：对于任意量子态，这关系都成立：根据伴随算符的定义，假设是的伴随算符，则因此，这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符，都是厄米算符。位置是一个可观察量，位

4、置算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态的波函数为，对于任意量子态，。所以，动量算符确实是一个厄米算符。返回目录4/521.2（位置算符）本征值与本征函数假设，位置算符的本征值为的本征函数是。用方程表达，这方程的一般解为，其中，是常数，是狄拉克δ函数。虽然无法归一化：设定=1，我们可以使满足下述方程：这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数都可以表达为本征函数的线性合：返回目录5/521.3正则对易关系位置算符与动量算符的交换算

5、符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果：所以，。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于0，位置与动量彼此是不相容可观察量。与绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，的本征态与的本征态不同。根据不确定性原理，由于与是两个不相容可观察量，。所以，的不确定性与的不确定性的乘积，必定大于或等于返回目录6/52二、动量算符在量子力学里，动量算符(momentumoperator)是一种算符，可以用来计算一个或多个粒子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数的动量算符可

6、以写为其中，是动量算符，是约化普朗克常数，是虚数单位，是位置。给予一个粒子的波函数，我们可以计算这粒子的动量的期望值：其中，是动量目录2.1动量算符导引2.2本征值与本征函数2.3厄米算符2.4正则对易关系动量算符中也包含厄米算符、正则对易关系的内容，详见1.1、1.3返回目录7/522.1动量算符导引(1)对于一个非相对论性的自由粒子，位势，不含时薛定谔方程表达为其中，是约化普朗克常数，是粒子的质量，是粒子的波函数，是粒子的位置，是粒子的能量。这薛定谔方程的解答是一个平面波：其中，是波数，。根据德布罗意假

7、说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是自由粒子具有明确的动量，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量所作的测量，都得到同样的测量值，那么，不确定性，这自由粒子的量子态是确定态，是的本征态，在位置空间(positionspace)里，本征函数为，本征值为：换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数[1]。为了要达到此目标，势必要令所以，可以认定动量算符的形式为返回目录8/5

8、22.1动量算符导引(2)在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数：在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话是以期望值的方式来实现[2]：那么，用积分方程来表达，其中，是波函数。取微分于积分号下，由于只是一个位置的统计参数，不相依于时间，(1)含时薛定谔方程为其中，是位势。其共轭复数为返回目录9/522.1动量算符导引(3)将上述两个方程代入方程(1)，可以得到使用分部积分