应用统计学-相关与回归分析

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1、第七章§1.相关关系相关与回归一、相关关系的概念现象之间的数量关系存在着两种不同的类型：一种是函数关系，另一种是相关关系。函数关系指的是变量之间存在着的严格的依存关系，它们之间的关系值是固定的，对于某一变量的每一个值，都　有另一个变量的完全确定的值与之相对应。例如，圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。相关关系是指变量之间确实存在的但关系值不固定的相互依存关系。在这种关系中，当一个(或几个)变量的值确定以后，另一个变量的值虽与它(或它们)有关，但却不能完全确定。这是一种非确定性的关系。例如，电视机的拥有率

2、与人均收入水平有关，但对于人均收入水平相同的地区，其电视机的拥有率可能不尽相同。在客观事物中，尤其是在经济现象中，相关关系普遍存在。统计很有必要对这种关系进行研究。在相关关系中，通常，在相互联系的现象之间存在着一定的因果关系，这时就把其中的起着影响作用的现象具体化，通过一定的变量反映出来，这样的变量称为自变量。由于受到自变量变动的影响而发生变动的变量称为因变量。在相关关系中，有时两个变量之间只存在相互联系而并不存在明显的因果关系。确定哪一个是自变量，哪一个是因变量，主要决定于研究的目的。例如，在粮食亩

3、产量与施肥量之间，施肥量这一变量是自变量，亩产量这一变量是因变量。当研究的是两个变量之间的关系时，通常以符号X表示自变量，以符号Y表示因变量。二、相关关系的种类相关关系从不同的角度可以划分成不同的类型。(一)正相关与负相关从相关的方向看，相关关系可以分为正相关和负相关。负相关是指相关变量之间的变化趋势相反，即当自变量的值增加，因变量的值随之减少；当自变量的值减少，因变量的值随之增加。例如，产品产量与单位产品成本之间的关系。正相关是指相关变量之间的变化趋势相同，即当自变量的值增加，因变量的值也随之增加；

4、当自变量的值减少，因变量的值也随之减少。例如，汽车的使用年限与汽车的修理费用之间的关系。(二)线性相关与非线性相关从相关的形式上来看，相关关系可分为线性相关和非线性相关。线性相关也称直线相关，是指相关的两个变量之间变化的趋势呈线性或近似于线性。即自变量发生变动，因变量随之发生变动，其增加或减少量是大致均等的，从图形上看，其观察点的分布近似表现为直线形式。非线性相关也称曲线相关，是指相关的两个变量之间变化的趋势呈非线性。即自变量发生变动，因变量随之发生变动，但其增加或减少量不是均等的，从图形上看，其观察

5、点的分布表现为各种曲线形式。(三)单相关和复相关从相关变量的个数来看，相关关系可分为单相关和复相关。单相关是指两个变量之间的相关关系。复相关是三个或三个以上变量之间的相关关系。例如，仅仅考虑施肥量对产量的影响，这就是一种单相关；如果除了施肥量之外，再考虑降雨量及深耕程度对产量的影响，则这种相关关系就是一种复相关。三、回归与相关分析的概念在对变量之间存在的相关关系进行分析研究时，最常用的方法就是回归分析和相关分析。回归分析和相关分析是相互联系的，它们从不同方面研究变量之间相关关系的本质。回归分析是用来研

6、究变量之间关系的可能形式的统计方法。它把两个或两个以上变量之间的变动关系加以模型化，用数学函数表达变量之间的关系。运用这种方法时，最终的目的通常在于预测或估计与某一个或某几个变量的给定值相对应的另一变量的数值。相关分析是研究如何计量变量之间关系强度的统计方法。它能确定变量之间相关的程度，即变量之间某种关系的确切程度有多大。回归分析和相关分析既有联系，又有区别。就其研究对象来说，两者都是研究变量之间的相关关系。但就彼此研究变量之间关系的性质来看，两者存在明显的区别。回归分析中，必须将相关变量区分为自变量

7、和因变量，以确定其关系的可能形式，所研究变量属于非对等关系。相关分析中，计量变量之间关系的强度，不必区分自变量与因变量，所研究变量属于对等的关系。四、相关图表对现象变量之间是否存在相关关系以及存在怎样的相关关系进行分析、作出判断，这是进行回归和相关分析的前提。通过编制相关表和相关图，可以直观地、大致地判断现象变量之间是否存在相关关系以及关系的类型。(一)相关表相关表是表现现象变量之间相关关系的表格。例如，为研究商店人均月销售额和利润率的关系，调查10家商店取得10对数据，以人均销售额为自变量，利润率为

8、因变量，编制简单相关表如下表。人均销售额与和利润率相关表编号人均月销售额(千元)利润率(％)1234567891013345667783.06.26.68.110.412.612.316.316.818.5(二)相关图所谓相关图，是把相关的两个变量之间的关系在平面直角坐标(第一象限)中反映出来。通常将自变量(x)置于横轴上，因变量(y)置于纵轴上，而将两个变量相对应的变量值用坐标点形式描绘出来。相关图就是用相关点的分布状况来描述相关关系的，所以又称为散点