石河子大学微积分试题二

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1、综合练习二1、分别利用Liouville定理、辐角原理、Rouche定理、最大模原理证明代数学基本定理。2、设，证明:（i）（ii）等号成立当且仅当3、设，，并且存在使得证明：4、（Caretheodory不等式）设证明：5、设，并且利用Schwarz引理证明：（i）（ii）等号在时成立当且仅当6、设证明：存在和收敛于的点列，使得存在。7、求出所有满足的整函数。8、设。证明：若是在中的所有彼此不同的零点，其阶数分别为，则特别地，有9、设。证明：10、设，证明：11、设是以圆点为中心、以为顶点的正方形域，，。证明：（i）（ii）在闭三角型上也

2、有12、将下列初等函数在指定的域上展开为Laurent级数：（i）（ii）（iii）（iv）（v）13、设证明：若双全纯地将映为域，则的面积为14、（面积原理）证明：若是上的双全纯映射，则并且当且仅当15、下列初等全纯函数有哪些奇点？指出其类别：（i）（ii）16、是否存在上的无界全纯函数使得17、证明：若是域上的亚纯函数，但不全纯，则存在使得18、设是次多项式，。证明：有无数个零点。19、证明：留数定理与Cauchy积分公式等价。20、求下列初等函数在指定点的留数：（i）（ii）21、利用留数定理和Cauchy积分定理计算下列积分：（i）

3、（ii）（iii）（iv）22、（推广的Liouville定理）设是异于的单连通域。证明：若是整函数，并且则是常值函数。23、设是异于的单连通域，，将双全纯地映为，并且证明：若将双全纯地映为，，则24、证明：将映为角形内部的双全纯映射具有形状其中，是与该角形顶点对应的点；是该角形的内角；。