考研数学]北京航天航空大学线性代数3

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1、第二节n维向量的线性相关性1.n维向量的线性相关与线性无关2.线性相关性的判别法本节主要内容一n维向量的线性相关与线性无关设α1,α2,…,αm,α都是n维向量，若存在一组数k1,k2,…,km使得定义则称向量α是α1,α2,…,αm的线性组合,或称向量α可由α1,α2,…,αm线性表出.例如对向量α=(1,1,0),β=(2,1,1),γ=(1,0,1),β=α+γ,β是α,γ的线性组合.称ε1,ε2,…,εn为n维向量空间的基本单位向量.在n维向量空间中，设则对任何一个n维向量都有对任何向量组α1,α2,…,αm都有而对向量组α1=(1,1,0),

2、α2=(2,1,1),α3=(1,0,1)有1·α1–1·α2+1·α3=0.则称α1,α2,…,αm是线性相关的.设α1,α2,…,αm是m个n维向量，若存在一组不全为零的数k1,k2,…,km，使得线性相关的向量组的特点：它除了有系数全为零的线性组合是零向量外，还可以有系数不全为零的线性组合也是零向量.定义所以由定义知：α1,α2,0,α3线性相关.例1试证：向量组α1,α2,0,α3是线性相关的.因为存在不全为零的数0,0,1,0,使得证说明:包含零向量的向量组一定线性相关.也就是说：向量组α1,α2,…,αm当且仅当系数k1,k2,…,km全为

3、零时，才能使得一个向量组如果不是线性相关的，就称为线性无关的。定义线性无关的向量组的特点：它只有数全为零的线性组合才是零向量，除此之外，它不再有别的线性组合是零向量.设α1,α2,…,αm是m个n维向量，如果定义例2试证：n维向量空间的基本单位向量组ε1,ε2,…,εn是线性无关的.就必有则称α1,α2,…,αm是线性无关的.此定义常用来证明向量组是线性无关的.证如果有于是得到根据定义得ε1,ε2,…,εn是线性无关的.即线性相关与线性无关反映了向量组是否有系数不全为零的线性组合等于零向量.n维向量α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关的充分必要条件是

4、：其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.证必要性因α1,α2,…,αm线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,…,km，使得定理2.1不妨设k1≠0,则即α1可由α2,…,αm线性表出.充分性于是显然，1,k2,…,km不全为零，故α1,α2,…,αm线性相关.不妨设α1可由α2,…,αm线性表出，即推论向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出.若n维向量α1,α2,…,αm线性无关，向量α1,α2,…,αm,β线性相关，则β可由向量α1,α2,…,αm线性表出，且表法唯一.定理2.2证向量

5、组α1,α2,…,αm,β线性相关，即存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使得若k=0，则有与已知矛盾，故k≠0.即α1,α2,…,αm线性相关，于是即因α1,α2,…,αm线性无关，故必有下面证唯一性，用反证法：若有两种表法使两式相减，得所以表法唯一.二线性相关的判别法特殊情形:当m=1时,也即只有一个向量的向量组：α1,显然α1线性相关的充分必要条件是α1=0.如果当α1≠0时,α1线性无关.当m=2时,即含有两个向量的向量组:α1,α2,它们线性相关⇔α1=kα2或α2=hα1,或者说,α1,α2的对应坐标成比例.否则α1,α2线性无关.当m

6、≥3时，向量组α1,α2,…,αm的线性相关性的判别通常转化为齐次线性方程组是否有非零解来考虑.例3判别向量组:α1=(1,2,5),α2=(2,4,-1),α3=(6,-1,-1)的线性相关性.设解即亦即由于故齐次线性方程组只有唯一零解：故向量组线性无关.判别向量组：α1=(1,2,2),α2=(-2,1,-1),αm=(1,-3,-1)的线性相关性.例4解设即系数行列式不能用克莱姆法则解方程组.(-2)(-2)(-1/5)(-3)消元法相当于对它的系数矩阵作初等行变换：得等价方程组：所以所以向量组线性相关.2取于是一般结论:判别一个向量组i=(a

7、i1,ai2,…,aim),i=1,2,…,m,是否线性相关，根据定义判断齐次方程组：是否有非零解，即齐次方程组是否有非零解.特别是当m=n时,即n个n维向量组线性相关的充分必要条件为向量组的线性相关与线性无关的性质1．含有零向量的向量组必线性相关.不失一般性，设所给的m个向量为证从而存在不全为零的数1,0,…,0，使得所以α1,α2,…,αm线性相关.2．向量组若有一个部分线性相关，则整个向量组也线性相关.证设向量组α1,α2,…,αt,αt+1,…,αm中的一部分组α1,α2,…,αt线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,…,kt，使得因为k1,

8、k2,…,kt不全为零，所以k1,k2,…,kt,0,…,0也不全为零.由定义知α1,α2,…