《积分变换法》PPT课件

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1、3.3积分变换法举例积分变换的某些作用：通过积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的目的。积分变换法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方程。例1无界杆上的热传导问题的热源，设有一根无限长的杆，杆上具有强度为杆的初始温度为，试求t>0时杆上温度的分布规律。解：归结为求解下列定解问题其中方程的特点:非齐次，求解的区域又是无界。因为，所以对x取Fourier变换来解。两个记号：——关于变量x的Fourier

2、变换。——关于变量x的Fourier变换。对方程（3.35）的两端取关于x的Fourier变换由Fourier变换的微分性质：将式中的函数用来代替，即得到得到（3.37）为导出方程（3.37）的定解条件（3.37）对条件（3.36）式的两端也取x的Fourier变换：（3.38）方程（3.37）是一阶线性常微分方程，它满足边界条件（3.38）的解为（3.37）（3.38）（3.39）由Fourier变换表可查得再根据Fourier变换的卷积性质得例2半无限长的杆上的热传导问题一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的初始温度为

3、0℃，求杆上温度的分布规律。解：归结为求解下列定解问题不能用Fourier变换，因为用Laplace变换求解。对x还是t取Laplace变换？记号对上式两端同时取关于t的Laplace变换，得即在对上式关于t取Laplace变换，得即通解为从而关于p取Laplace逆变换由Laplace变换表查得，再根据Laplace变换的微分性质得最后由Laplace变换的卷积性质得用积分变换法解定解问题的过程大体为：一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程的两端取变换，把一个含有两个自变量的偏微分方程化为

4、含一个产量的常微分方程。二、对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。三、解所得的常微分方程，求得原定解问题解的变换式（即象函数）。四、对所得的变换式取逆变换，得到原定解问题的解。取Laplace变换，必须在定解条件中给出该自变量等于零时的函数值及有关导数值。定解条件中哪些需要取变换，那些不需要取变换。这个问题很容易解决，凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件。Poisson公式基本解或影响函数