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《数学人教版八年级上册活动与探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、活动与探究 [探究] 已知：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F， ①过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E。求证：BD＋EC＝DE ②过F作FM∥AB交BC于点M，过F作FN∥AC交BC于点N。 求证：ΔFMN的周长＝BC。 分析：学生读题，思考如何去做。 两、三分钟后，大部分学生已经能做出。 问：谁来给大家分析一下？ 生5：由“背孩子图形”立即可得ΔBDF和ΔFEC是等腰三角形，由BD＝DF，EC＝EF。问题得证。 师：请每个同学写出过程。 证明：∵BF平分∠DBF， ∴∠DBF＝∠FBC ∵
2、DE∥BC ∴∠DFB＝∠FBC ∴∠DBF＝∠DFB ∴DB＝DF 同理：EF＝EC ∴DB＋EC＝DF＋FE 即：DB＋EC＝DE 问：从刚才同学们完成①问，能够感受到规律的威力，第二问如何做？ 生6：这个图形中，也有两个“背孩子图形”，可得FM＝BM，FN＝NC，问题得到解决。 师：今后，我们在思考问题时，按我们的规律进行思考，将大大推进我们对问题的思考。 例2 已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角，EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE与AB的交点。 求证：DE＝DF 分析：
3、给大家5分钟的时间，认真思考。5分钟后请同学回答。（5分钟，全班已有超过一半的学生能做） 生7：这里面仍然包含有两个“背孩子图形”。 由出现了角平分线，和平行线，我们很容易得到ΔDEC和ΔDFC是等腰三角形，可得：ED＝DC，DF＝DC。 师：很好，请按规律思考。 （至此班上大部分学生已经掌握这题的思考规律，同时，理解了我们是如何运用规律的。这些规律不需要去背，学生已经留在了脑海中。） 解：∵FE∥BC ∴∠DEC＝∠ECB 又∵CE平分∠ACB ∴∠ECB＝∠ECD ∴∠DEC＝∠DCE ∴DC＝DE 同
4、理：DC＝DF ∴DE＝DF 例3 已知：如图，点D是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，DE交AB于点E，交AC于点F。 求证：EF＝BE－CF。 师：这题留给大家5分钟的时间思考。 生8：题目中出现有角平分线和平行线，思考找出题中的两个等腰三角形，能得到ΔEDB和ΔDFC是等腰三角形，有BE＝ED，DF＝CF，问题得到证明。 师：请大家写出证明过程。 证明：∵BD平分∠EBC， ∴∠DBE＝∠DBC ∵DE∥BC ∴∠EDB＝∠DBC ∴∠DBE＝∠EDB ∴DE＝
5、BE 同理：CF＝DF ∴EF＝DE－DF＝BE－CF 例4 已知：如图，B、D分别在AC、CE上，AD是∠CAD的平分线，BD∥AE，AB＝BC。求证：AC＝AE。 分析：问：能自行解决吗？ 生9：题中出现有角平分线和平行线，先找出等腰三角形ΔABD， 有AB＝BD，又∵AB＝BC， ∴有BC＝BD， ∴∠C＝∠CDB 又∵BD∥AE ∴∠CDB＝∠E ∴∠C＝∠E ∴AC＝AE。 师：今后我们做题时，要善于多题归一，我们今天见识了善于发现不同题目中的规律，会给我们带来极大的帮助，增长我们的才能。[探究1]等腰
6、三角形两底角的平分线相等.过程:利用等腰三角形的性质即等边对等角、全等三角形的判定及性质.结果:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线.求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中,∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.过程:同探究1.结果:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是△ABC的高.求证
7、:BE=CF.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵BE、CF分别是△ABC的高,∴∠BFC=∠CEB=90°.在△BFC和△CEB中,∵∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,∴△BFC≌△CEB(AAS).∴BE=CF.[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.过程:同探究1.结果:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CD=AC,BE=AB,∴CD=BE.在△BEC和△CDB中,∵BE=CD,∠ABC=∠ACB
8、,BC=CB,∴△BEC≌△CDB(SAS).∴BD=CE.
