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《第03讲预备知识-场论1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三讲场论初步（1）(PreliminaryFieldTheory)主要内容：1.场与张量2.张量基本运算3.梯度1标量、向量、张量与场1.1标量、向量、张量物理量按空间维数分为标量、向量和张量。维数，又称维度，是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。点是0维，线是1维，面是2维，体是3维。标量（Scalar）：只有大小没有方向，用一个数和单位即可表示T=T(r,t)ρ=ρ(r,t)向量(Vector)：既有大小又有方向，要用空间三个坐标分量表示v=v(r,t)a=a(r,t)二阶张量（Tensorof2n
2、dOrder）：用9个元素才能表示的量P=P(r,t)ε=ε(r,t)n阶张量（TensorofnthOrder）：3n个元素表示的量从张量的概念来讲，标量是零阶张量，向量是一阶张量1.2什么是场(Field)如果全部空间或部分空间的每一点都对应某物理量的一个确定值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个“场”。也就是说，场是具有物理量的空间。如果这个物理量是标量，就称为标量场，如温度场，密度场；如果是向量就称为向量场，如速度场；如果是张量，就称为张量场，如应力场、应变场等。“场”和函数(Function)是对应的。标量场对应标量函数，向量
3、场对应向量函数，张量场对应张量函数。场的研究方法是将物理量作为空间位置r和时间t的函数，t作为参变量处理，即分析t时刻场的情况。不讨论各种场的具体物理意义，而从数学上研究场的一般规律的学科称为场论(FieldTheory)1.3场的几何描述标量场的等值面在场中t时刻，标量函数φ(r,t)数值相同的点组成的曲面称为等值面(Contourplane)。ϕ(r,t)=c(t)（c值不同对应不同等值面）等值面直观地描述了标量在场中的分布情况。向量场的向量线向量线(VectorLine)是这样的线，它上面每一点处切线方向与向量在该点的方向一致向量场
4、a=ai+aj+akxyzaM任意一点M的矢径r=xi+yj+zkzr矢径微分dr=dxi+dyj+dzkyox叉积为零：dr×a=0这就是向量线的微分方程(DifferentialEquation)在直角坐标系(SystemOfRectangularCoordinates)当中表示为dxdydz==aaaxyz解方程得向量线族，向量线族直观的描述了向量在场中的分布。当向量a不为零，且分量a,a,a单值连续、有一阶连续偏导数时，xyz向量线连续分布于向量场所在的空间中，且互不相交。向量线互不相交若向量a是流体的速度v(Velocity)，
5、向量线就是流线(FlowLine)。2向量及张量基本运算2.1向量运算符号规定爱因斯坦求和符号表达式中一对符号相同的指标，表示求和，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标。ae=ae+ae+ae=aii112233kab+ke⋅e=k(ab+ab+ab)+3k1ii2jj11122332张量指标包括哑指标和自由指标，在表达式的某项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标；在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成
6、一个方程。克罗内克δ符号任意两个正交坐标轴单位向量的点积(DotProduct)用δ表示，称为克ij罗内克δ，即：⎧1i=jei⋅ej=δij=⎨（i,j=3,2,1）⎩0i≠j此处i、j即为自由指标，δ表示的含义：ij===,1======0δδδδδδδδδ112233121321233132上式说明：一个单位向量与自身的点乘为1，与相垂直的单位向量点乘为0置换符号任意两个正交坐标轴单位向量的叉积(CrossProduct)可表示为e×e=εeijijkkεijk称为置换符号，也称利奇（Ricci）符号，它的取值为：⎧0i,j,k有2
7、或3个自由指标相同⎪εijk=⎨1i,j,k=123,231,312偶次置换⎪⎩-1i,j,k=3212,13,132奇次置换e3置换符号说明：i、j、k取值不同值时，ε取1顺时针为负ijke或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：2ε=ε=ε=1ε=ε=ε=−1123231312132213321e逆时针为正1置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。ε与δ之间有如下关系ijkijεε=δδ−δδijkklmiljmimjl2.2向量运算的常用公式（1）a±b=aiei±bie
8、i=(ai±bi)ei（2）a⋅b=ae⋅be=abe⋅e=abδ=abiijjijijijijiieee123（3）a×b=aiei×bjej=aibjei×ej=aibjεijkek=a1
