量子金融的意义

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1、2003,23A(1):115-128数学物理学报量子金融的意义陈泽乾(中国科学院武汉物理与数学研究所武汉430071)摘要:金融市场中的风险资产的演化过程遵从某种统计规律。这种统计规律通常是采用经典概率理论来加以阐述的。最近,作者提出了从量子力学的角度来探讨金融问题的设想[1],[2],[3]。其中,作者不仅从量子力学的角度用Maxwell-Boltzmann统计重新推导了著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且还用量子力学中的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)得到了一个新的期权定价公式

2、。这表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”——量子金融。本文从对冲的角度来阐述这种潜在理论的金融意义和可能的实际内涵。作者给出了对冲定价的量子方案,详细讨论了单期金融市场的量子对冲问题。最后,作者解释了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子规律,而不是经典统计规律。关键词:自伴算子;量子态;金融市场;量子交易策略;对冲;资产定价。MR(2000)主题分类:91B28;46L53中图分类号:G10;G12文献标识码:A文章编号:1003-3998(2003)01-115-141量子的数学涵义本文是作者关于“量子

3、金融”的工作[1,2,3]的继续,我们只考虑多期金融市场,不考虑[4]连续金融情形,因此我们只需考虑有限量子系统情形。量子是一个物理概念。在数学上,量[5]子是用复Hilbert空间来描述的。有限量子系统可以用有限维复Hilbert空间来描述,因n[4]此,不失一般性,在本文中我们只需考虑n维复线性空间C。按照Dirac的记号,为描述那些与量子系统相联系的向量,我们用右矢这个特殊的名称,并用一个特殊的符号

4、〉来表示一个一般的右矢。如果我们要用一个字母,例如x来指明它们中特定的一个,我们把这个字母n插在中间,写成

5、x〉。这里,右

6、矢

7、x〉表示C中的向量,有时也直接记作x。对每个右矢

8、x〉,由Riesz表示定理,相应地有一个左矢〈x

9、,它确定H上的一个有界线nn性泛函:对任意y∈C有〈x‖y〉=〈x,y〉,这里〈x,y〉表示C中x和y的自然内积。注意,这里的内积关于第一个变元为共轭线性的,第二个为线性的,这与多数数学书上的约定是不一[4]致的。这种约定以及下面的一些约定是Dirac引进的,在量子物理中使用较方便。我们将沿1/2袭他的用法。记‖x‖=〈x,x〉为

10、x〉的范数。范数为1的右矢称为单位向量。我们用nn{

11、0〉,

12、1〉,…,

13、n-1〉}表示C中的

14、自然基,其中

15、j-1〉表示C中在第j行为1而在其他行为0的列向量。

16、0〉,

17、1〉,…,

18、n-1〉都是单位向量。nnn用B(C)表示C上的全体算子。C上的算子在自然基{

19、0〉,

20、1〉,…,

21、n-1〉}下与n×n收稿日期:2002-01-08116数学物理学报Vol.23An*阶矩阵一一对应。我们以后对它们不加区分。给定C中的一个算子a,必有唯一算子a满n足:对C中所有的

22、x〉,

23、y〉有*〈x,ay〉=〈ax,y〉.**我们称a为a的共轭算子。如果a=a,我们称a为自伴算子或Hermite算子。通常,相应*于自伴算子a的矩阵仍记为

24、a,并称它为自伴矩阵或Hermite矩阵,即a与它的共轭转置ann相等。C上的自伴算子(矩阵)全体记作O(C)。自伴算子或Hermite算子(矩阵)在量子物理中又称为可观测量,它们是经典随机变量的量子对应物,在数学中称为非交换随机变量,是量子概率的研究对象。有两类很重要的自伴算子(矩阵),它们分别是正算子和投影算子。n算子a称为正算子,如果对任何x∈C有〈x,ax〉≥0。nn对a,b∈O(C),如果a-b为正算子,那么就称a大于b,记作a≥b或b≤a。易证,≥在O(C)中定义了一个偏序。nn对C中的任意一个闭子空间E,由投影定

25、理,每个x∈C在E上有唯一投影。由此我们n定义一个算子,它将每个x∈C映射到E上的投影,我们称它为投影算子。这个算子由E唯一确定,故我们不加区别地直接记作E。任何投影算子E满足0≤E≤1。这里以及下面,如n果λ是一个数,它经常用来表示算子λI,其中I表示C中的恒等算子或单位矩阵。在量子概率中,投影算子又称为事件,它们是经典概率中的事件的量子对应物。一维投影称为原子,其意义是它不能表示为两个非零事件之和。在具有n个样本点的经nn典概率空间中,其所有事件的Borel代数有2个元和n个原子。但在相应的量子对应C中,它有连续统的事件,

26、而且其原子全体与n维复投影平面形成一一对应,是一个2n-2维实流形。nn

27、x〉〈y

28、表示

29、x〉和

30、y〉的外积,它是C中的算子,定义为:对任意

31、z〉∈C有

32、x〉〈y

33、

34、z〉=〈y,z〉

35、x〉。n任给C上的一个算子a和正交基{e1,…,en},数值ntra=∑〈ej,aej〉,j