2011考研证明题系列-题目3

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1、题目3是一道积分不等式的证明，是李永乐或者陈文灯书上都可以找到的题目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是证明题中常用的，所以我把这道题弄出来进行剖析，将自己的思路展现给大家看看。拿到这道题目，大家可能都有点傻眼了。怎么表达式这么复杂？！！！而且绝对值，积分号，求导号让人眼花缭乱，感觉根本不知道从何下手。我们不妨先从三个独立的表达式分析起走。第一个表达式首先要明白这个式子说的是什么东西。读懂表达式，是你做证明题的根本！不难看出，这个式子说的就是

2、f(x)

3、的在区间[a,b]的最大值。写的这么高深，弄得大家心里发慌，其实根本就是一只纸老虎嘛！我们并不关心最

4、大值在哪一点取得，所以我们可以把取得最大值的这一点设为ξ，则这个式子可以化成

5、f(ξ)

6、.你看，这样一简化，是不是显得更加简洁和舒服，让自己的信心也增加了不少。第二个表达式这个式子对积分熟悉一点的看见了就应该有一种很强烈的反应，就是积分中值定理！！所以这个式子我们也可以简化一下成

7、f(η)

8、.这样一来，不但大大简化了表达式，而且成功的与第一个表达式联系了起来！这样对题目的认知也就在简化中一点一点的清晰化了！第三个表达式这个表达式相对于前面两个来说要复杂一些，因为它没有很好的化简方式。所以我们只有暂且不管这个表达式，把它作为一个常量，摆在那里，考虑去处理

9、表达式1,2，使得能够得到表达式3！为此，我们将表达式1和表达式2放在一起，于是移项，得到下面不等式，也就是我们需要证明的！注意到左边两个式子

10、f(ξ)

11、-

12、f(η)

13、，看见这个，然后考虑到这是一道不等式的题目，并且ξ，η都是未知的一个数，我们应该立即联想到放缩，用什么放缩？绝对值不等式！

14、x

15、-

16、y

17、<=

18、x-y

19、，然后逻辑方向（也就是不等式的方向）也是正确的，所以放心大胆的做吧！如此一来，我们便可以一口气做下去了。于是得到下面的解答！

20、最后需要再多说两句的就是放缩的后期有一步非常经典注意到没有，第一步的那个等号是这道题里面最难也是最精华的部分。反用

21、牛顿--莱布尼茨公式。成功将积分和导数联系在了一起，破解了这个看似超级复杂的证明题！后面的就是定积分的基本性质虽然这个式子平时看起来觉得再熟悉简单不过了，可是真正使用的时候还是不简单的。最后对这个题目打一个小结，这道题到底让我们学到了哪些知识和思想方法。知识1：积分中值定理，在某些时候可以简化表达式知识2：绝对值不等式以及定积分里面的绝对值不等式知识3：牛顿--莱布尼茨公式的逆用考察的知识不难，关键如何将这些知识串联起来，这是需要不断训练的，当然，通过平时练习多总结多思考，就是提高的最快路径了！思想方法1：对证明的式子需要有个宏观把握，能简化的要简化，

22、这样便于你看清楚整个题目间的关系。思想方法2：不等式证明中间肯定有放缩，这个时候需要找出一定放缩的方法，而且更重要的是判断放缩的方向是否正确，如果正确才可继续往下做。思想方法3：对公式的逆用。有些时候我们做题做多了，往往对有些公式只会顺着用，反过来如何用未曾或者很少想过。其实，像这种难度较大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通过这道题目，我们也学习到了牛顿莱布尼茨公式逆用的威力。可以联系积分与导数！总而言之，这道题目难度不小，不过也不是天马行空的，仔细琢磨，会发现里面有很多思想是值得学习借鉴的！最后选了一道题目，供大家练习