教师版空间位置关系与证明

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1、2012年高考专题复习——空间位置关系与证明（立几1）高考要考什么一．线与线的位置关系:平行、相交、异面；线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；面与面的位置关系:平行、相交；二．转化思想：；例1、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F；　　(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。底面ABCD是正方形，点O是AC的中点　　在中，EO是中位线，。　　而平面EDB且平面EDB，　　所以，平面EDB。　　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

2、　　①同样由底面ABCD，得　　底面ABCD是正方形，有平面PDC　　而平面PDC，②由①和②推得平面PBC　　而平面PBC，　　又且，所以平面EFD变式1。1、已知如图：平行四边形ABCD中，，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（１）求证：GH∥平面CDE；10（２）若，求四棱锥F-ABCD的体积．（1）证法１：∵,∴且∴四边形EFBC是平行四边形　∴H为FC的中点--------2分又∵G是FD的中点∴--------------4分∵平面CDE，平面CDE∴GH∥平面CDE----7分证法２：连

3、结EA，∵ADEF是正方形　　∴G是AE的中点--------------1分∴在⊿EAB中，----------------------------------3分又∵AB∥CD，∴GH∥CD，----------------------------------4分∵平面CDE，平面CDE∴GH∥平面CDE---------------------7分（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，　　∴FA⊥平面ABCD.---------------------------------------------------

4、9分∵,∴又∵，∴BD⊥CD--------------------------------------11分∴＝∴＝------------------------14分变式1.2、在三棱锥P-ABC中。中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面⊥平面；（3）求三棱锥的体积．解：（1）分别为的中点，……2分又平面，平面平面……4分（2）连结，,又为的中点，，同理,…………6分又,,10……8分又,平面.平面平面⊥平面10分(3)由（2）可知垂直平面为三棱锥的高，且。…11分三棱锥的体积为：14分例2

5、（天津）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的大小的正弦值．（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．而平面，．（Ⅱ）证明：由，，可得．是的中点，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．而平面，．底面在底面内的射影是，，．又，综上得平面．（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，可得．在中，，，则．10在中，．解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

6、由已知，可得，设，可得．，．于是，．在中，．所以二面角的大小是．M变式2：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，EM平面CDE，∴FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，ABCD∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF.例3如图，在六面体

7、中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面10，平面，．（Ⅰ）求证：与共面，与共面．（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的大小余弦值．证明：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．（Ⅰ）证明：．ABCD．与平行，与平行，于是与共面，与共面．（Ⅱ）证明：，，，．与是平面内的两条相交直线．平面．又平面过．平面平面．（Ⅲ）解：．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．10设为平面的法向量，，．于是，取，则，．．二面角的大小为．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：平面，平面．ABCD，，平面平面．于是，．设分别

8、为的中点，连结，有．，于是．由，得，故，与共面．过点作平面于点，则，连结，于是，，．，．，．所以点在上，故与共面．（Ⅱ）证明：平面，，10又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线