数学最新联考试题分类大汇编(14)复数、推理与证明

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1、上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第14部分:复数、推理与证明一、选择题：二、填空题：14．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有成立．14．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有[来源:

2、学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]成立．7．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知复数（），当此复数的模为1时，代数式的取值范围是．14．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)洛萨科拉茨（LotharCollatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，1

3、6，8，4，2，1．对科拉茨（LotharCollatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则的所有可能的取值为．3.(上海市五校2011年联合教学调研理科已知，若为纯虚数，则的值为。1．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)若复数满足（其中为虚数单位），则。5．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)若，，且为纯虚数，则实数-4.5、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)若复数是实系数一元二次方程的一个根，则1013.(上海市奉贤区2011年4月高

4、三调研测试)(文)右图都是由边长为1的正方体叠成的图形例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。依此规律，则第个图形的表面积是__________个平方单位。5、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)若复数同时满足（为虚数单位），则复数=。三、解答题：19、(上海市五校2011年联合教学调研理科（满分12分）已知复数,,且．（1）若且，求的值；（2）设＝，求的最小正周期和单调递减区间．19.解：（1）∵∴∴-----------2分若则得------------------

5、---4分∵∴或∴-------------------------------------------------6分（2）∵＝-------------9分∴函数的最小正周期为-----------------------------------------10分由得∴的单调减区间.-------------------------12分19.(上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分12分）已知复数满足（为虚数单位），复数，试确定一个以为根的实系数一元二次方程.19.（本题满分12分）解法一：因为，得，所以.若实系数一元二次方程有虚根，则必有共

6、轭虚根，因为，，故所求的一个一元二次方程可以是.解法二：设，则，∴，…，以下解法同[解法一].23.(上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分18分）（文理）如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为.xy第23题图-1第23题图-2（1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值；（2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点.试提出一个由类比获得的

7、猜想，并尝试给予证明或反例否定.【本小题将根据你所提出的猜想的质量和证明的完整性给予不同的评分】23.（本题满分18分）（理科）解：（1）因为对角线互相垂直的四边形面积，而由于为定长，则当最大时，四边形面积取得最大值.由圆的性质，垂直于的弦中，直径最长，故当且仅当过圆心时，四边形面积取得最大值，最大值为.（2）解法一：由题意，不难发现，当点运动到与圆心重合时，对角线和的长同时取得最大值，所以此时四边形面积取得最大值，最大值为.解法二：设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，的距离为.则，，且.可得又，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.又因为点在圆内运动，

8、所以当点和圆心重合时，此时，故此时四边