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1、中考专题：与圆有关的综合证明22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以AC为直径作QO，OB交QO于E，AE的延长线交BC于D，连结CE.（1）求证△BED～△BCE.（2）若AC=4，求CD的长.BEDCOA22、（1）略（2）△BED～△BCE→又由△DEC～△DCA→可得BE=CD由BE2=BD·BC即CD2=（4－CD）·4解得CD=22．（本题8分）如图，点A优弧BC的中点，E,D分别为弧AB和弧AC的中点，连结AC,EC,AD,连结BD交AC于点F.交EC于G.（1）求证：EC∥AD（2）若AF=CD=1，求FG的长．22．（1）∵点A优弧BC的中点，
2、∴弧AB=弧AC,又∵E,D分别为弧AB和弧AC的中点，∴弧AE=弧CD∴∠ACE=∠CAD,∴CE∥AD（2）可证AF=CD=DG=AD=1，CF=DF,△CDF∽△CDA,∴,设，∴∴,∴DG=DG-DF=CD-FC=1-=22.（本题满分8分）如图：⊙O中,直径AB⊥直径CD,点E在OA上,EF⊥CE交BD于点F,EF交CD于M.CF交AB于N.(1)证明:EC=EF(2)若AE=1,DM=,求△ENC的面积.22.(1)作EG⊥CH,EH⊥BD.证明△EGC△EHF.(2)设OM=x,则OC=x+，OE=x+,由ΔEOM∽ΔCOE,得·OC,解出x=，∴OC=3,OE=2,E
3、C=,如何求EN的长？考虑到EN在ΔENC中，可证明ΔENC∽ΔECB,得·EB,可求EN=。∴S△ENC=EN·OC=3.922．(8分)如图⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．BD与CE相交于H，在BD上取一点M，使BM=CH．⑴求证：∠BOC=∠BHC；⑵若OH=1，求MH的长．22．⑴∠BOC=2∠BAC=120°，∠BHC=∠DHE=360°－(90°＋90°＋∠BAC)=120°，∴∠BOC=∠BHC．⑵设BH与OC交于K，在△OBK和△HCK中，由⑴得∠OBK=∠KCH，即∠OBM=∠OCH，又OB=OC，BM=CH，∴△BOM
4、≌△COH．⑶由⑵得OH=OM，且∠COH=∠BOM；从而∠MOH=∠BOC=120°，∠OHM=∠OMH=30°．在△OMH中作OP⊥MH，P为垂足，则OP=OH，由勾股定理得PH=OH，MH=2PH=OHABCEDHOM22．（本题满分8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．22．（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在△CBE与△CAB中；∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB．……4分（2）
5、解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD∵S△CBE：S△CAB＝1:4，△CBE∽△CAB∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴AC＝4EC∴AE：EC＝3：1∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3:1设FC＝a，则AD＝3a，∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝…………………………8分（本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）22．（本小题满分8分）如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两
6、条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若tan∠BAC＝，求的值．22．（本小题满分8分）（1）证明：连接OE．……………………………………………1分∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB．……………………………………………2分∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°，……………………………………………3分∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线．……………………………………………4分（2）延长BE交AM于点G，连接AE，
7、过点D作DT⊥BC于点T．因为DA、DC、CB为⊙O的切线，∴DA＝DE，CB＝CE．在Rt△ABC中，因为tan∠BAC＝，令AB＝2x，则BC＝x．∴CE＝BC＝x．……………………………………………5分令AD＝DE＝a，则在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝x－a，DC＝CE＋DE＝x＋a，DT＝AB＝2x，∵DT2＝DC2－CT2，∴(2x)2＝(x＋a)2－(x－a)2．……………………………………………6分解之得，x＝a．……………………………
