数字信号处理第3章离散傅里叶变换DF

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1、3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)1课件3.1离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为2课件式中,N称为DFT变换区间长度N≥M，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点DFT设变换区间N=8，则3课件3.1.2DFT和Z变换的关系设序列x

2、(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式4课件图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系5课件3.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WknN的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数所以(3.1.1)式中，X(k)满足同理可证明(3.1.2)式中x(n+mN)=x(n)6课件实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，

3、而x(n)则是的一个周期，即为了以后叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：7课件图3.1.2有限长序列及其周期延拓8课件式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则((n))N=n1例如，则有所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。9课件如果x(n)的长度为N，且(n)=x((n))N，则可写出(n)的离散傅里叶级数为(3.1.8)(3.1.9)式中(3.1.10)10课件3.2离散傅里叶变换的基本

4、性质3.2.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］，则y(n)N点DFT为Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。11课件3.2.2循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(N)(3.2.2

5、)12课件图3.2.1循环移位过程示意图13课件2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)则Y(k)=DFT［y(n)］=WN-kmX(k)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。14课件3.频域循环移位定理如果X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)则y(n)=IDFT［Y(k)］=WNnlx(n)(3.2.4)15课件3.2.3循环卷积定理有限长序列x1(n)和x

6、2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］如果X(k)=X1(k)·X2(k)则(3.2.5)16课件循环卷积过程中，两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为由于所以即循环卷积亦满足交换律。17课件3.2.4复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则DFT［x*(n)］=X*(N-k)

7、,0≤k≤N-1(3.2.7)且X(N)=X(0)18课件3.2.5DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-xop*(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到19课件上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。

8、如图3.2.3所示。图中*表示对应点为序列取共轭后的值。20课件图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图21课件如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即x(n)=xep(n)+xop(n)0≤n≤N-1(3.2.11)xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］(3.2.13)xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］(3.2.14)22课件2.DFT的共轭对称性(1)如果