《调性与极值最值》PPT课件

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1、第四节一、函数单调性二、函数的极值函数的单调性与极值oxxoyy则能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?当曲线为上升(或下降)时,其上各点切线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tanα是非负(或非正)的.根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时,有可见函数的单调性与导数的符号有关.一、函数的单调性1、函数单调性的判定法(a,b)可导.若在(a,b)内，恒有定理1设函数则在[a,b]内单调增加(减少).在闭区间[a,b]内连续,在开区间注：如果函数在个别点处导数为零,其余各地处都为正（或负），那么函数在该区间上仍是单调增（或单调减少）的.例如

2、,若函数在其定义域的某个区间内单调的，则该区间称为函数的单调区间.例2.确定函数的单调区间.(1)证明不等式:例3证明：当时，2、函数单调性的应用利用单调性:关键是根据所给条件及区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性.例4证明方程(2)判断方程根的个数:在区间(-1,0)内有且只有一个实根.练习．证明：当时，作业P12921(2)，(4)，24(2)(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.1、极值的定义二、函数的极值设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义.如果对该邻域内任意的

3、x()总有而极大值与极小值统称为极值.y性态取得值的点值的个数值的情况极值局部内点若干个极值极小值可能大于极大值最值整体内点,端点只有一个最大最小值最小值不能大于最大值oxy=ƒ(x)Mmab2、函数极值的判定与求法xyOCD可导函数的极值点必为驻点反之是否成立？因此，函数的极值点只可能在函数的驻点和不可导点取到．oxy=

4、x

5、定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(3)“不变符号”,则因此求极值的一般步骤为:(1)给出定义域,并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域划分为小区间;(2)考察这些点两侧导函数的符号，

6、从而确定极值点;(3)求出极值点的函数值,即为极值.例2．求函数的极值.练习.确定函数的极值.定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.若ƒ(x)在驻点处的二阶导数,则该判别法失效.对于一阶导数,二阶导数不存在的点,不能用第二判别法判定.故第一判别法比第二判别法更普遍.(只需点连续即可)定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.作业：P13025(1)(4)26(2)第五节、最值问题y性态取得值的点值的个数值的情况极值局部内点若干个极值极小值可能大于极大值最值整体内点,端点只有一个最大最小值最小值不能大于最大值

7、oxy=ƒ(x)Mmab极值点或端点第五节、最值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值例1求函数上的最值．在特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么这个点的函数值一定是最大值或最小值.例2.设圆柱形有盖茶缸容积V为常数,求表面积为最小时,底半径r与高h之比.hr解设表面积为s,则目标函数为作业：P13028(3),30则其最值只能在极值点或端

8、点处达到.当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么这个点的函数值一定是最大值或最小值.课堂小结例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.若定理设函数则在I内单调递增(递减).在开区间I内可导,课堂小结一、单调性二.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值求极值的一般步骤为:(1)给出定

9、义域,并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域划分为小区间;(2)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;(3)求出极值点的函数值,即为极值.作业：P13025(1)(4)26(2)练习:求函数的极值.个驻点例1.证明时,成立不等式证:令从而因此且证*证明令则从而即例2求函数的极值.故函数有极大值ƒ(0)=0.函数有极小值x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+不存在–0+ƒ(x)极大值极小值