mean field theory

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1、二、平均场理论((eaMean-fieedldTheoeoy)ry)1多体问题的共同特征采用了BOA之后，电子和核的运动可以分开处理，原来的多体问题得到一定程度的简化。但是剩下的多电子问题或者多原子核问题仍然是复杂的多体问题，精确求解这些多体问题的薛定谔方程仍然是不切实际的。2以多电子问题为例，由于电子之间存在库仑相互作用，电子与电子之间的运动存在着关联。也就是说任何一个电子的运动都要受到其他电子运动的影响，任何一个电子的运动状态发生了改变都会影响到其他电子的运动。粒子之间的运动互相影响、相互关联这也是所有多体体系的共同特点。（如前所述

2、，如果粒子之间没有相互作用、没有关联，相应的问题总可以转化为单体问题来处理）3补充说明①费密子系统多体系统②玻色子系统③费密子和玻色子混杂系统相对论性多体理论量子多体理论非相对论性多体理论非相对论量子多体理论的任务是求解多体体系的薛定谔方程，研究多体系统的物理，计算多体体系的各种物理性质。4平均场理论的基本思想平均场方法是最常见也最实用的处理量子多体问题的手段。仍以多电子体系为例，用一个（单体）有效场来代替电子所受到的其他电子的库仑相互作用。这个有效场包含了所有其他电子对该电子的相互作用。利用有效场取代电子之间的库仑相互作用之后，每一个

3、电子在一个有效场中运动，电子与电子之间的运动是独立的(除了需要考虑泡利不相容原理)，原来的多体问题转化为单体问题。5平均场理论的数学形式非混杂多体体系的哈密顿量：112HViij,ii22mij平均场近似下的单体哈密顿量：有效势12hv()r,iieffi2mi单体薛定谔方程：hr()()r.iii6平均场近似下的多体波函数可以表示为单体波函数的乘积形式：()(rr,,,r)((r)()(r)()(r).12nn11222对于费密子体系，多体波函数应该是反对称的：A(,,,)rrrArrˆ(,

4、,,)r12nn121P(1)Prrr(,,12,)nn!P1det()()rr()r1122n2n!对于玻色子，乘积波函数自动是对称的。Slater行列式7平均场理论的应用平均场理论在量子多体问题中有着广泛的应用。将平均场理论应用到多电子原子中就得到原子的壳层模型；应用到原子核中，就得到原子核的壳层模型；应用到分子中，得到分子轨道理论；应用到晶体的电子问题中就得到晶体的能带理论；等等。利用平均场理论可以解释化学元素在周期表中的排布，可以解释原子核的幻数，可以解释化学反应发生的难易，可以解释绝缘体和导体的区

5、别，等等。并且，通过选择更合理的有效场形式，或者在平均场基础上考虑关联效应，都可以更精确、更有效地处理多体问题。接下来，我们通过具体例子来进一步认识平均场理论和方法。8（一）多电电原的子原子的电电问子问题题原子中的电子在原子核产生的中心力场中运动。采用MFA，可以得到电子在原子核力场和其他电子平均场中的运动方程为：hrˆ()()rhr()()r其中的单体哈密顿量可以用有效场表达为：ˆ12ZAhv()reff2r求解该单体薛定谔方程即可得到MFA框架下的单电子能级和状态。电子从低到高占据这些单电子能级。由于泡利不相容原理

6、的限制，每一个能级可以被两个电子占据。9自洽场方法(Self-ConsistentField)实际上，平均场的确定需要知道电子所处的状态。也就是说，单体薛定谔方程的确定需要该方程的解的信息。因此，平均场近似下的单体薛定谔方程必须通过迭代方法求解。即给定单体薛定谔方程的一个初始解(通常称为初始猜)，构造平均场，然后求解单体薛定谔方程；利用薛定谔方程的解构造新的平均场和薛定谔方程，求解薛定谔方程，再重复构造平均场，求解薛定谔方程；反复迭代直到用来构造平均场的单体波函数和利用该单体波函数构造的薛定谔方程的解完全相同为止。这种求解薛定谔方程的方

7、法称为自洽场方法。迭代中止的条件称为自洽。10自洽迭代流程图11原子中电子的填充：壳层模型从氢原子和类氢原子的量子力学问题我们知道，在中心对称力场中运动电子的状态需要四个量子数来描写主量子数n、角量子数l、磁量子数m和自旋量子数s。考虑到电子之间的相互作用，原子中某一个电子受到的力一般情况下将不再是中心对称的。但是作为一个近似模型，我们认为每一个电子在原子核和其它电子所组成的有心力场中运动(至少对于基态这是一个不错的近似)。12这样，电子按照能量从低到高依次占据各原子能级。相应的单电子状态通常称为原子轨道。具有相同主量子数的能级组成一个

8、壳层，一个壳层中具有相同角量子数的能级构成一个亚层。电子依次占据不同的壳层，形成了原子中电子的壳层模型。壳层模型可以用来定性的解释元素周期表的排布。13（二）分子轨道理论研究分子的量子力学问题的学科叫做量子