《连续函数运算》PPT课件(I)

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1、一、连续函数的运算法则第八节二、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束连续函数的运算与初等函数的连续性第二章定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束定理3.连续函数的复合函数是连续的.在内连续单调递增,其反函数在内也连续单调递增.证:设函数于是故复合函数又如,且即机动目录上页

2、下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束例如,指数函数可看成由连续函数链复合而成,因而指数函数在R内连续.由反函数的连续性知,对数函数在其定义域R+内亦连续.例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动目录上页下页返回结束二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束在函数f连续的条件下,如果已知f(x)在点x0连续,

3、则给出了求极限的一种方法,这就是:另外,在f连续的条件下,求复合函数极限的公式可改写为利用这个公式可以解决一系列极限计算问题.例2.求解:原式例3.求解:令则原式说明:当时,有机动目录上页下页返回结束例4.证明例5:求例6.求例7:求例8.求解:原式说明:若则有机动目录上页下页返回结束等价地:当例9:设解:左边=例10.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不连续,机动目录上页下页返回结束内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在

4、界点处是否连续需讨论其左、右连续性.机动目录上页下页返回结束第十节目录上页下页返回结束例11.设函数于x=0处连续，且对任意实数x，有证明f(x)是常数函数.证明:由条件可以推出由x的任意性即知：f(x)=f(0).