三方军备竞赛数学模型

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1、标准文档东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告三方军备竞赛模型及其   改进分析  学院数学与统计学院专业学号7100405姓名燕云指导教师刘超张尚国成绩教师评语：实用文案标准文档指导教师签字：2013年7月15日实用文案标准文档1绪论1.1背景军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛。各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。是一种预防式的军事对抗。近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。资料显示，几乎

2、所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。1979年加拿大人理查森研究了1816-1965年间99件国际争端[1]得到了理查森军备竞赛模型。这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中，军备竞赛是一个很重要的原因。例如，甲乙两国是敌对国家，乙国感到甲比他强大，就会为了自身的安全而增加预防开支，扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己，为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。1.2预备知识在解决这

3、一类模型时，我们常常要求解一些三次方程。所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。1.实系数一元三次方程的根具有负实部的充要条件是：若有成立。2.理查森军备竞赛模型（两国家）：两国家的理查森军备竞赛模型如下：实用文案标准文档甲乙两方在时刻t的军备数量分别是，在一方军备增加时，另一方军备也增加，设甲的增长速率为k，乙的增长速率为l。同时，由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。设甲的制约系数为，乙为。两方都有增加军备的能力设为g，h。2正文2.1理查森三方军备竞赛模型2.1.

4、1模型建立理查森三方军备竞赛模型种国家间关系如图2.1。制约制约制约刺激刺激刺激甲乙丙图2.1理查森三方军备竞赛模型种国家间关系图设甲、乙、丙三方时刻t的军备数量分别为，，，模型如下：实用文案标准文档其中a、b、c分别表示三方的自身制约程度；l表示该方受乙方的刺激程度的度量，k表示该方受甲方的刺激程度的度量，m表示该方受丙方的刺激程度的度量。g、h、f是己方军备竞赛的固有潜力。2.1.2模型分析我们令MATLAB软件程序如下：symsalmbkckfgh;A=[-alm;-bkm;-ckl];B=[-g;-h;

5、-f];rref([A,B])得到的结果如下：图2.2平衡点系数结果由此我们可以得到平衡点：，其中实用文案标准文档为求解平衡点的平衡条件，记方差的系数矩阵为：矩阵B的特征方程为，即化简得：故，若要求平衡点稳定需满足：2.2模型的数值模拟当a=0.5,b=1,c=0.8,k=0.3,m=1,l=0,f=1,g=1,h=1时求解上述模型的数值解。利用MATLAB程序a=0.5;b=1;c=0.8;k=0.3;m=1;l=0;f=1;g=1;h=1;A=[-alm;-bkm;-ckl];B=[-g;-h;-f];rr

6、ef([A,B])得到结果如下：实用文案标准文档图2.3平衡点结果进而可以知道平衡点进一步利用MATLABts=-20:0.5:20;x0=[1,1,1];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),gtext('z(t)')得到图像：图2.4军备竞赛趋势图2.1.3模型的局限性此模型中，对于自身的约束较弱，不能很好的反映生活中一个国家自身对自身军备复杂的影响因素；同时，在一个地区中，国与国的军备竞赛不仅仅是依赖于自

7、身和对方的军事实力，也在很大程度上取决于对方国家的同盟国家的影响力，故此，这样的模型只能简单的反映几个国家短期的、简单的军备竞赛的情况。实用文案标准文档2.2带Logistic项的改进模型我们对一个国家对自身的约束做一个改进，一个国家的发展必然会受到地区和自身国家的约束，所以在自身影响的部分我们加入Logistic阻滞增长模型的思想，设一国家自身影响部分为：2.2.1模型建立改进模型种群间关系如图2.3。制约（在自身最大实力一定时）制约（在自身最大实力一定时）刺激甲乙图2.5改进模型种群关系图设甲、乙双方时刻t

8、的军备数量分别为，，模型如下：其中a、b分别表示双方的自身制约程度；l表示该方受乙方的刺激程度的度量，k表示该方受甲方的刺激程度的度量，m表示该方受丙方的刺激程度的度量。g、h是己方军备竞赛的固有潜力。、表示相应国家自身允许发展的最大程度。实用文案标准文档2.2.2模型分析平衡点使得下式成立：结果如下：图2.6改进模型的平衡点其中，故可得平衡点为：。2.2.3稳定性分析由于方程组（4）