《重积分概念》PPT课件

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1、第十五章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分二重积分推广三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质机动目录上页下页返回结束一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底面：xoy面上的有界闭域D顶面:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.机动目录上页下页返回结束“分割,近似,求和,取极限”解法:类似于定积分中求曲边梯形面积的思想：1)“分割”用任意曲线网将区域D分成n个区域以它们为底面将曲顶柱体分为n个2)“近似”在每个3)“求和”中任取一点小曲顶柱体，机动目录上页下页返回结

2、束体积记作则（用平顶柱体体积近似小曲顶柱体体积）4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则现在非常数,仍可用其面密“分割,近似,求和,取极限”思想解决1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应地把薄片也分为n块。机动目录上页下页返回结束解：2)“近似”中任取一点3)“求和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束（用质量均匀分布的薄片质量近似小薄片质量）两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)结果形式相同“分割,近似,求和,

3、取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义定义:（１）分割：用光滑曲线网将区域D任意分成n个小区域（３）求和：是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束小区域面积也记为作乘积（２）近似：任取（４）取极限：若不论区域D的分法、点的取法，和式积分域被积函数积分表达式面积元素积分和引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:二重积分定义的说明：机动目录上页下页返回结束4、（二重积分的几何意义）（表示半球体体积）机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质(k为常数)机动目录上页下页返回结束特别地,由

4、于则4.若在D上机动目录上页下页返回结束5.设D的面积为,则有（二重积分估值不等式）6.(二重积分的中值定理)机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束四、二重积分的计算（一）直角坐标系下二重积分的计算,从而机动目录上页下页返回结束2、积分区域的分类X型区域：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.简单区域进一步可分为机动目录上页下页返回结束X

5、型区域X型区域可表示为：机动目录上页下页返回结束Y型区域Y型区域可表示为：机动目录上页下页返回结束若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.思路：转化为二次积分进行计算机动目录上页下页返回结束应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束计算二重积分的一般步骤：1、画出积分区域的图形；2、判断区域D的类型，选择相应的积分次序；3、划线定限（积分限从小到大），转化为累次积分；4、计算积分值；例2解：积分区域如图解:积分区域如图机动目录上页下页返回结束交点(0,0)，(1,-1

6、)，(4,2)例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束但是对某些函数，我们只能选择一种特定的积分顺序否则可能导致计算无法正常进行。例4解：积分区域如图（既是X型也是Y型）交点(0,0)，(1,1)，(1,0)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束交换积分次序的解题步骤：(1)根据积分限画出积分区域的图形(2)将原积分转化为二重积分，重新选择积分次序，转化为新的二次积分进行计算.机动目录上页下页返回结束例5交换下列积分的积分次序解：积分区域如图交点(0,0)，(1,1)机

7、动目录上页下页返回结束解：积分区域如图交点(0,0)，(1,1)，(2,0)机动目录上页下页返回结束解：积分区域如图交点(0,0)，(1,1)，(1,0)例6机动目录上页下页返回结束作业